Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
R, в, Ф в некоторой полярной системе координат,
Л, М, N в некоторой эклиптической системе координат...
«Ho таким путем я никогда не закончу этот список,— заявит нам математик, — так как число координатных систем, которыми я хочу пользоваться, бесконечно. Теперь мне ясно, что я должен подойти к поставленной задаче иначе. Я дам вам общее правило для нахождения новых значений, соответствующих А при преобразовании одной системы координат в другую. Таким образом для меня окажется необходимым дать всего только одну совокупность значений, и вы сможете сами найти все остальные»-Говоря о правиле, математик тем самым отказывается от права придавать А те или иные значения, согласно своему минутному капризу. Он связывает себя некоторого рода закономерностью. В самом деле, мы в праве предполагать, что наш нормально мыслящий собеседник руководствуется каким-то правилом при выбор© значений для А. Предположив, что это в действительности имеет место, зададим себе вопрос, можно ли отгадать то правило, которое выберет математик, если нам заранее не известно, какую задачу с величиной А он пытается разрешить. Я думаю, что можно. He обязательно иметь какие-либо сведения о содержании этой задачи или о том, относится ли она к физическому миру или к чему-нибудь совершенно отвлеченному.
Для нас достаточно знать немного природу самого математика. Какое же правило он может принять? Рассмотрим величины,
*) Мы проведем ваше рассуждение ради простоты для случая трех измерений.
Теория относительности. 6
S3
Тензорное исчисление
которые могут встретиться в этом правиле. Прежде всего ЭТО будут две совокупности чисел, между которыми нужно установит! связь; обозначим их через X, Г, Z и Л, в, Ф. Ничего не был г сказано о том, что они являются какими-нибудь аналитическими функциями; насколько мы знаем, они являются отдельными числами. Поэтому вводить производные этих величин не имеет смысла. Последние рассматриваются как числа, локализованные в одной и той же точке пространства (х, у, я) или (г, 0, ср), иначе едва ли мог возникнуть вопрос о координатах. Эти числа изменились потому, что система координат изменилась в этой точке. Эт0
дх д2 0
изменение определяется такими выражениями, как, и т д.
Интегральные координаты х, у, z, г, 0, со не могут войти сами по себе, так как они выражают соотношения данной точки с далеким началом координат, а мы рассматриваем лишь изменения вблизи точки, у которой локализовано (X, Y, Z). Таким образом, правило должно содержать лишь величины X, F, Z, Л, 0, Ф тем или иным образом соединенные с взаимными производными от х, у, Одним из таких правил могло быть следующее: дг , дг „ , дг „
R =
дх 1 ду dz
дб „ , дЬ „ , дЬ
дх ду dz
*=-Р-х + -Р- Г+-Р-
дх ду dz
(20.1)
Применяя это же к преобразованию (г, 0, в (К, v), получим
д=-зг-*+“гге+^ф- (20-8>
откуда, подставляя значения Л, 0, Ф из (20.1) и собирая члены при X, F, Z, будем иметь:
d\ dr d\ do dk dtp s
dr dx ' db dx ' d® dx
d\ dr d\ dd d\ dv
dr dy 1 db dy ‘ d<p dy
’ d~k dr , d X dk cb
dr dz, 1 db dz 1 d® dz
^ г) Я* ^ ZifJt ^ " ГІГГ, /)/т* J
+ ---------лгг “1—ж- • —'kr.—1-------------------зг-1 Y +
ч
=Ix+!7+! (2о-з>
20. Математическое понятие вектора
S3
Итак, мы получили такую же формулу, какую должны были бы получить, применяя правило к непосредственному преобразованию координат (х, у, з) в (к, jx, v). Таким образом, правило оказалось внутренне согласованным *}. Ho обнаружение этого специального правила, определяемого формулой
дк дк дг . дк дИ , дк дц>
дх дг дх ' дЧ дх сЬ дх !
произошло лишь вследствие счастливой случайности и очевидно среди бесконечного количества других формул едва ли будет легко найти такие, которые также обладали бы такого рода «самосогласованностью».
Приведенное выше правило совпадает с тем, которое уже было дано для контравариантного вектора (19.1). Правило для ковариантных векторов также самосогласовано. Других самосогласованных правил для преобразования совокупности трех чисел (или четырех, в случае четырех координат) повидимому «о существует ’*).
Итак, мы виднм, что если математик примет во внимание необходимость саыосогласоваиности для своего правила, то он неизбежно должен сделать свою величину А контравариантным или ковариантным вектором. Выбор между тем или другим случаем зависит исключительно от его усмотрения. Математик может получить более широкий выбор, если пренебрежет свойством самосогласованности и будет рассматривать некоторую избранную систему координат х, у, г, утверждая, что значения в другой системе координат должны всегда получаться при применении правила прямо к X, Г, Z без допущения промежуточных преобразований. В действительности оп этого не делает, быть может,
*) Оно ведет, следовательно, к одному и тому же результату независимо от того, преобразуем ли мы к новой координатной системе непосредственно, или через посредство промежуточных систем координат. (Н.)
**) Если не принимать во внимание, что мы можем умножить нашу формулу на любую степень якобиана преобразования. Полученный результат также будет самосогласованным, так как:
