Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что плотность массы р подчиняется уравнению
/ = P1B2, (14.2)
так как масса каждой частицы уменьшается для движущегося наблюдателя в отношении р.
Величины, отнесенные к пространственно-временной системе наблюдателя, движущегося вместе с рассматриваемым телом, часто отмечаются приставкой «собственный» (по-немецки — Eigen); например: собственная длина, собственный объем, собственная плотность, собственная масса (= инвариантная масса).
Мы редко встречаемся с преобразованием температуры для движущегося наблюдателя. Вообще, слово температура очевидно означает собственную температуру, и движение наблюдателя не входит в рассмотрение.
В термометрии и в теории газов существенно употреблять измерительный прибор, по отношению к которому материя находится в среднем в покое, так как показания термометра, быстро движущегося через жидкость, не имеют никакого практического интереса. Ho термодинамическая температура определяется уравнением
dS = -^L, (14.3)
где dS есть изменение энтропии при изменении энергии dM. Температура Ti определенная этим уравнением, будет зависеть от системы отсчета наблюдателя. Энтропия? очевидно, подразумевается инвариантом, так| как она зависит от вероятности статистического состояния системы, сравниваемого с другими возможными состояниями. Таким образом, температура T изменяется благодаря движению в той же самой мере, как бШ, что дает нам уравнение
Г = рГ. (14.4)
Ho применять такое преобразование к адиабатическому газовому уравнению T = к?~1 было бы нецелесообразно, так как
в этом случае T, очевидно, обозначает собственную температуру
и р — собственную плотность.
Преобразование Лоренца, вообще говоря, бесполезно применять
Теория относительности. 5
Oti Основные принципы
к макроскопическим, так называемым феноменологическим урап-нениям, описывающим состояние материальной среды, и к коэффициентам, встречающимся в них (проницаемость, диэлектрическая постоянная, упругость, скорость звука). Такие уравнения, естественно, образуют более простой и важный вид в осях, движущихся вместе с материей. Преобразование к осям, движущимся относительно системы, вводит большие усложнения, не давая каких-либо очевидных преимуществ и представляет некоторый интерес разве лишь в виде математического упражнения.
15. ОБЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ.
Мы получаем преобразование координат, вводя новые координаты X1', х.2', X3', Xi, которые представляют собой какие-то функции старых координат X1, ха, х3, Xi. Обратно, X1, х.2, ха, Xi суть функции ж/, х.2', X3', Xi. Предполагается при этом, что кратные значения исключены, по крайней мере в рассматриваемой области, так что четверки координат (X1, х2, хв, Xi) и Qvl', х2', х3 , Xi) одно-однозначно соответствуют друг другу.
Если X1 = ^(X1 , X2 ; %3 , Xi ); х2 = , х2 , х3 , Xi у, и т. д.,
то
dXl = дх~' dXl' + dt' dXi' + дх.' dx* + Ijxi'dXi' и т- д-; (15Л)
что можно написать проще так:
Cfcz1 , , , дх. , . дх. дх. ,
dXl + ~д^' 2 +?7 3 +?7 dXi И Т- д’ (15‘2)
Подставляя (15.2) в (2.1), мы видим, что ds2 будет однородной квадратичной функцией дифференциалов новых координат; и что новые коэффициенты glt', g22' и т. д. могут быть выражены, если это желательно, через старые.
Для примера рассмотрим обычное преобразование к осям, вращающимся с постоянной угловой скоростью а>, т. е.
х = X,' cos сох/ — х/ sin сих/
L-J KjVJD W 4t *^2
у = X1' sin CO х/ -j- X2' COS CU Xi Z = T0' t = Xi'.
(15.3)
Отсюда следует:
fix = dxt' cos их/ — dx2' sin шх/ -j- co(— X1' sin сих/ — X2' cos cox/) (Ixi',
15. Общие преобразования координат
67
лу = daJ1' sin (UX4' - dx./ cos сих/-j-(и(ж/ cos шаг/ — x2' sin (их/) ?/?',
</;. = C?ajg'; dt =dxi'.
Выбирая единицы пространства и времени так, чтобы с=1, мы имеем для наших начальных неподвижных координат из уравнения (7.1)
tfca = — dx2 — f/?/2 — rfi2 -L- Л2.
Следовательно, подставляя величины, найденные выше, получим
ds- = — dxt'2 —d i\'2 —dx3’2-j- |l — X1"2 -j- dx'2-j-
-U 2ux.,'dxl'dxi' — 2 Uixl'dxJdx^. (15.4)
Памятуя, что все доступные наблюдению различия координатных систем должны сказываться в выражении интервала, мы заключаем, что эта формула должна заключать в себе все, отличающее вращающуюся систему координат от неподвижной.
В преобразовании (15.3) мы не обращали внимания на какое-либо сокращение масштабов длины или отставание часов, вызванное движением вместе с вращающимися осями. Поэтому здесь речь идет просто о формулах преобразования элементарной кинематики, так что ж/, х2', х3', х/ представляют совершенно точно координаты, какими пользуются в обычной теории вращающихся осей. Ho так как мы знаем уже, что элементарная кинематика является слишком грубой, то представляло бы интерес видоизменить формулы (15.3) так, чтобы учесть эти небольшие изменения масштабов и часов. Краткое рассмотрение показывает, что это предлоясение невыполнимо. Действительно, в п. 14 было показано, что если X1', хх3', Xi' обозначают прямоугольные координаты и время, определенные по непосредственным отсчетам масштабов и часов, то
