Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
59
со скоростью. Ho, взяв незначительно измененное определение
dx dn dz п Л
mT,' т *>”*> <12-2>
мы сможем удовлетворить закону сохранения количества движения одновременно во всех пространственно-временных системах, еслй т — инвариантное число. Это было показано в книге «Пространство, время и тяготение».
Сравнивая (12.1) с (12.2), получим
*=»?• (*2-3>
Мы называем от инвариантной массой (собственной), а Ж — относительной массой, или просто массой. Термин «инвариантный» или «собственный» обозначает неизменность при всяком преобразовании координат, и, в частности, одинаковость для всех наблюдателей; постоянство же в течение всей жизни тела является добавочным свойством массы т, хотя и приписываемым нашим идеальным биллиардным шарам, но которое мы вовсе не считаем верным для материи вообще.
Выбирая единицы длины и времени так, чтобы скорость света оказалась единицей, мы получим из (7.2)
* = (1 — р»)Т.
dt
Следовательно, по (12.3)
і
М=т (1—с2) 2. (12.4)
Таким образом, масса увеличивается со скоростью в той степени, как это дается Фицджеральдовым сокращением, и когда
с=0, то M — т. Инвариантная масса, таким образом, равна
массе в состоянии покоя, так называемой покоящейся массе.
Естественно расширить (12.2) прибавлением четвертой компоненты следующим образом:
dx dy da, dt
от — , от — , т-г-, от — . (12.5)
ds ds ds ds '
Согласно (12.3) четвертая компонента равна Ж. Таким образом, количество движения и масса (относительная масса) образуют вместе симметричное выражение, причем составляющие
60
Основные принципы
количества движения являются пространственными компонентами и масса—временной компонентой. Мы увидим ииже, что выражение (12.5) представляет собою «вектор» и законы сохранения количества движения и массы эквивалентны закону сохранения Этого вектора.
В дальнейшем, мы дадим аналитическое доказательство закона изменения массы со скоростью, непосредственно из принципа сохранения массы и количества движения.
Пусть Jtf1 и Jtf1' будут значения массы тела, измеренные соответственно наблюдателями S и S'; V1 и V1 —скорости этих наблюдателей в направлении х.
Положив
*'-(•-?)'*. р-НТ*’
мы можем легко вывести из (6.2), что
Pl»l = PPl' К-•>)•*) (12-6)
Пусть для некоторого числа таких частиц, движущихся по прямой, нмеет место закон сохранения массы и количества движения с точки зрения измерений наблюдателя S', т. е. пусть
S M1 и S M1V будут постоянны.
Так как (3 и и постоянны, то отсюда следует, что величина SJtf1'р(D1' — и)— постоянна. Следовательно, по (12.6) также по-
стоянна и величина SJIif1'P1 —А. (12.71)
Pi
Ho так как количество движения должно сохраняться и для наблюдателя Si то мы видим, что
LM1V1 (12.72)
тоже должно быть постоянной.
*) Именно, для P1U1 получас к
'Ї — KC11^S
(Pr1 — м)2 с
[(¦-ї)-(5^)Ti=_
— (1— <¦){(і—(1+-7) (< + v) (1--,;)) * -W- Ж'И (»•)
12. Количество движения и масса
6І
Результаты (12.71) и (12.72) будут согласоваться друг с другом, если
M1 M1'
н легко видеть, что другого общего решения не может быть. Следовательно, для различных значений V1 масса M1 пропордио-иальна [B1, т. е.
( »2\"^
ЛГ = т ! I--^l ,
где т есть постоянная для данного тела.
Чтобы вызвать заданное изменение скорости Sc в первоначальном направлении движения, требуется импульс больший, чем для того, чтобы достичь такого же изменения Otc в направлении, ему перпендикулярном. Действительно, составляющие количества движения в двух направлениях были первоначально равны
а после приращения на 3» и 8ю они станут равными
т(р-\- Sc) [1 — {(»-[- 8ю)2 -)- (8м>)2} /с2] 2",
и
mbw [1 — {(»+8»)2 + (Sm?)2}/с2] .
Следовательно с точностью до величин второго порядка в 8ю и 8го изменение составляющих количества движения будет равно
или
M 8с, M Sm?,
где P — фицджеральдовский множитель для скорости Р. Коэффициент M j3‘2 раньше назывался продольной массой, M—поперечной• массой", однако, продольная масса для общей теории не имеет особого значения, так что этот термин вышел из употребления.
62
Основные принципы
13. ЭНЕРГИЯ.
Когда единицы выбраны так, что с=1, мы имеем приближенно
__Л
M = tn (I P2) 2 =WI-J--Jj-MP2, (13.1)
если скорость V мала по сравнению со скоростью света. Второй член представляет собой кинетическую энергию, так что при изменении скорости изменение массы равно изменению энергии. Это указывает на тождественность массы и * энергии. Следует напомнить, что в механике общая энергия системы остается неопределенной с точностью до произвольной аддитивной постоянной, так как там определяются только изменения энергии. При отождествлении энергии с массой мы устанавливаем для каждого тела аддитивную постоянную равной т, и т можно рассматривать как внутреннюю энергию тела.
Приближенный характер формулы (13.1) не нарушает правильности нашего рассуждения. Рассмотрим, например, столкновение двух идеальных биллиардных шаров. Закон сохранения
массы (относительной) дае», что величина ^ т (1 — р2) _ T
