Основы магнитного резонанса. Часть II - Дзюба С.А.
Скачать (прямая ссылка):
По сравнению с первичным эхом наблюдение модуляции в стимулированном эхе дает два преимущества. Во-первых, спад сигнала за счет релаксационных процессов в стимулированном эхе значительно медленнее, чем в первичном, т.к. в твердом теле время Т\ может на несколько порядков превышать время T2- Поэтому можно исследовать модуляцию сигнала до 'больших времен и соответственно улучшить точность фурье-спекгров в частотной области. Во-вторых, в модуляции стимулированного эха отсутствуют комбинационные частоты, что упрощает интерпретацию.
118 Глава 21. ФУРЬЕ-СПЕКТРОСКОПИЯ И ДВУМЕРНАЯ ФУРЬЕ-СПЕКТРОСКОПИЯ
21.1. Линейный отклик
Эксперимент в спектроскопии в весьма общем виде можно представить в виде схемы, показанной на рис. 21.1.
т , Л F0) _
Рис. 21.1
Здесь некий сигнал f(t) поступает на вход измерительной системы, на выходе которой он преобразуется в сигнал F(t)\
F(t) = Af (Г), (21.1)
где А - некоторый оператор. В магнитном резонансе функция f(t) соответствует переменному полю H\(t), которое подается на спиновую систему в магнитном поле. Откликом на воздействие F(t) является сигнал, создаваемый прецессируюй^ намагниченностью (сигнал свободной индукции).
Будем считать, что для преобразования (21.1)
выполняются определенные условия. Во-первых, пусть А не зависит от времени (стационарная система). Далее будем рассматривать линейные системы. Это такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции
Mfl (0 + /2 (0) = Afl it) + Af2 it) . (21.2)
Введем понятие импульсной характеристики системы (или ее импульсного отклика). Ею называется функция
Ht)^A8(t), (21.3)
119 где 8(t) - дельта-функция (т.е. бесконечно узкий сигнал). Будем также считать, что выполняется принцип причинности, т.е. при t < 0 h(t) = 0.
Для любой функции f(t) справедливо формальное равенство
fit) = ) dt'fit') Sit- f). (21.4)
-oo
A
Подествуем на обе части этого равенства оператором А- С учетом (21.2) и (21.3) получаем
F(t) = Afit)= fat' fit')Ht-f) . (21.5)
-00
Здесь мы также учли, что при f > t в силу принципа причинности h(t-t') = O-B (21.5) делаем замену переменных t - = г. Получаем
Fit) = ]dxf(t-x)h(x) , (21.6)
о
т.е. откликом на произвольный входной сигнал является свертка этого сигнала и импульсной характеристики системы. Таким образом, импульсная характеристика линейной стационарной системы полностью определяет ее свойства.
Пусть теперь на вход подается гармонический сигнал f(t) ~ ехр(-/йй). Тогда сигнал на выходе согласно (21.6) есть
F(t) ~ ехрі-і&ОЩо)) , (21.7)
іде
oo
Я(й>) = Jd?rexp(/o>r)A(r) . (21.8)
о
Отсюда видно, что на выходе также получается гармонический сигнал с той же частотой. От исходного сигнала он отличается множителем Н(со), который определяет изменение амплитуды и фазы выходного сигнала в зависимости от частоты ю. Н(со)
120 называется передаточной функцией или частотным откликом системы. Обратным фурье-преобразованием (21.8) можно получить
1 00
h(t) = — \da> exp(-icot)H(co). ?1.9)
—оо
Таким образом, импульсный и частотный отклики системы получаются друг из друга с помощью фурье-преобразования. Обе эти функции полностью характеризуют свойства любой осуществляющей преобразование сигнала линейной стационарной системы.
21.2. Соответствие стационарных и фурье-спектров
В качестве измерительной системы, изображенной на рис. 21.1, будем рассматривать спиновую систему в магнитном поле. Рассмотрим отдельно случаи гармонического и импульсного входного сигнала.
В первом случае на систему подается в течение продолжительного времени переменное поле
Н\ (t) = const exp(-zerf). Откликом на это воздействие (функцию f(t) в обозначениях п. 21.1) является сигнал прецессирующей намагниченности в лабораторной системе координат. В отсутствие насыщения система является линейной. Из (13.76) следует, что комплексные поперечные намагниченности в лабораторной системе координат и во вращающейся с частотой ю системе связаны между собой преобразованием
M1 = Mx+ iMy = (Мх(а>) + iMy(co))exp(-i<ot), (21.10)
т.е. комплексная поперечная намагниченность во вращающейся
системе координат M1(Co) = Mx(o)) + iMy(o)) определяет
амплитуду и фазу измеряемого сигнала прецессирующей
намагниченности. Поэтому M1(O)) можно отождествить с
передаточной функцией системы.
Во втором случае на систему воздействуют коротким, близким к дельта-функции импульсом переменного поля.
121 Откликом вновь является сигнал свободной индукции, Afi(J) = Mx(f) + /Afy(J), который на этот раз можно отождествить с импульсной характеристикой системы.1 Мы можем воспользоваться установленной в п. 21.1 связью между передаточной функцией системы и ее импульсной характеристикой. Из (21.8) следует
00
н е п p.- const j dt exp(ict)t)Mj^ (J)| J1mii . (21.11)
о
Это равенство играет центральную роль в теории применения импульсных методов. Напомним, что форма спектра поглощения в стационарных условиях определяется так
My (со) = ImjAir1 (со)}. Таким образом, из равенства (21.11)
