Основы магнитного резонанса. Часть II - Дзюба С.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
(Z1 = exp(iU0t / A)f7t ехр(—/(/0/ / Й). (20.9)
Такое преобразование матрицы плотности называется переходом к представлению взаимодействия.
Теперь рассмотрим спин в направленном вдоль оси Z постоянном магнитном поле с резонансной частотой щ — у/?. Пусть на спин воздействуют также перпендикулярным к оси Z переменным полем амплитуды Щ, которое поляризовано по кругу. Пусть при / = 0 это поле для определенности направлено вдоль оси X лабораторной системы координат. Из (13.7а) следует, что в любой другой момент времени вектор переменного поля в лабораторной системе координат есть (.Hicosot, -/Z1Sinra/, 0). Спин-гамильтониан имеет вид
К правой части этого гамильтониана добавим и отнимем йш Iz и разобьем его на две части согласно (20.5). Обозначив
воспользуемся изложенным выше подходом. Тогда временная эволюция матрицы плотности в представлении взаимодействия
Я = -Ha0Iz - ПуНх(соъЫ1х - Sintotfy), (20.10)
U о = -Йю/г,
(20.11)
U1 = -й(ю0 - (Si)Iz - Й©! (COSO)ZTt - sin VitIy )
(ср. (20.6))
р = ехр(-/ю/г/)рехр(/ю(/г/)
(20.12)
согласно (20.9) определяется гамильтонианом
H = —ft(to0 - аз)Iz - Hvil - (ехр(/ю/)/+ + ехр(-/ю/)/_ ), (20.13)
1
107 где 7± = ехр(/ю JJ2ll С использованием
соотношений коммутации (1.12) получаем, что /± = еТиа>l±. (Отсюда вццно, что рассматриваемое преобразование означает переход во вращающуюся систему координат.) Тогда гамильтониан (20.13) приобретает очень простой вид
H = -ft(e>0 " ®)IZ ~ X ¦
(20.14)
Отметим, что этот гамильтониан можно интерпретировать как гамильтониан в эффективном магнитном поле (13.14). Формулы (20.12) и (20.14) решают таким образом поставленную задачу о переходе во вращающуюся систему координат.
Будем считать, что переменное магнитное поле действует в течение времени Jp и амплитуда его достаточно велика, уHi = ©і » |а0 - cof. Тоща в гамильтониане (20.14) можно пренебречь первым членом и изменение матрицы плотности в результате его воздействия описывается согласно (15.28) как
J
&х(о>\*р) = exP(-1<*>\*р1Х) •
где
(20.15)
(20.16)
Оператор (20.16) называется оператором поворота. Для спина 1/2 нетрудно убедиться, что
© © Яж(©) = cos - +2/ SinyJjt
(20.17)
Известные выражения для матриц операторов поперечных проекций спина 1/2 в базисе состояний |а> и |?> имеют вид
о і
U OJ
і
0 -1 U о.
(20.18)
Для двух протонов нетрудно получить, что в базисе (20.3)
108 Iа + Is=-
Ix + 1X 2
ґ0 1 1 On
10 0 1
10 0 1
u і і а
ja jb^i (у у 2
ґ0 -1 -1 On
10 0-1
10 0-1
Ю 1 1 Oy
. (20.19)
С учетом (20.18) для спина 1/2 (20.17) можно представить в виде
RA®) =
© ©)
cos— / sin —
2 2
© ©
і sin— cos—
V 2 2
(20.20)
Для двух протонов в (20.16) вместо Ix необходимо подставить /ХА + /хв. Отсюда с учетом (20.17) следует, что
Rx (©) = (cos% + 2/ sin % Ix )(cos^2 + 2/ sin %/*)¦ (20.21)
Тоща в том же базисе (20.3) получаем
1 + COS© /sin© /'sin© -1 + cos©4
/sin© 1 + cos© -1 + cos© /sin©
/sin© -1 + cos© 1 + cos© / sin©
,-1 + cos© /sin© /sin© 1 + cos©
(20.22)
Для оператора вращения вокруг оси Y можно таким же путем получить
Ry(?) =
1+cos© -sin®
-sin© 1-cos©
sin© 1 + cos© -1 + eps© -sin® sin© -1 + cos© 1 + cos© -sin© U -cos® sin® sin® 1 + cos®,
(20.23)
109 В отсутствие импульсов движение матрицы плотности
определяется оператором exp (-i H0 t/h). Этот оператор называется пропагатором. Для двух слабосвязанных протонов
h0 = -^vjal -hvxizb + но)(1м + ize^hjijze (20.24)
и пропагатор в том же базисе имеет диагональный вид
exp(-/Й/Й) =
с s ® L Є 22
\
О
о о
о
-'*< Va+VB—JV
е
О О
О О
-IS(Va-Vb--J)I
е 2 О
е
О О О
-i^+Vj-l+l/Jt
(20.25)
Приведем теперь общую формулу для расчета матрицы плотности после воздействия двух импульсов. Для последовательности ©і - T - ©2 в некоторый момент времени і > т (в дальнейшем значок а~" над операторами мы будем опускать)
pit) = ехр(-»Я0(/ - г) / A)A(02) ехр(-/Я0т / h)R(?x )р(0) (2026) JT1Cei)ехр(/Я0г / Й)Л-1(©2)ехр(/Я0(/ - г)/ ft).
Расчет для спина 1/2 с учетом также (15.30) должен приводить к появлению сигнала эха при / = 2т, в полном согласии с изложенной в гл. 19 классической картиной его возникновения.
Формализм матрицы плотности позволяет с общих позиций рассчитать измеряемый сигнал намагниченности для любой многоуровневой системы. Следует, однако, иметь в виду, что этот формализм лишен физической наглядности. Поэтому там где это возможно, мы будем использовать представления о классическом движении векторов намагниченности.
110 20.2. Спиновое эхо в системе двух слабосвязанных протонов
Рассмотрим воздействие импульсной последовательности - IBO0x в ЯМР для шмоядерной системы двух
- T
90°
слабосвязанных протонов (система АХ). Расчет среднего значения оператора спина в момент времени t необходимо проводить по общей формуле (20.26). (В исходной матрице плотности (20.4) можно опустить единичную матрицу, так как она во всех преобразованиях переходит сама в себя и не влияет на конечный результат.) Легко видеть, что после первого импульса матрица плотности переходит в
