Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Процесс авторегрессии первого порядка (оц ф —0,9). Аналогичный анализ был проведен для авторегрессии первого порядка
Xt= -(№_, +Zt. (7.1.8)
Теоретический нормированный спектр этого процесса равен
TxxW ^ 2(°'19> 0<f<±.
о\ 1,81 + 1,8 cos2jtf ' ~^ ~^ 2
График этой функции показан на рис. 7.5. Она имеет очень узкий пик вблизи / = 0,5 гц и изменяется от 0,105 до 38,0, так что пришлось построить ее в логарифмическом масштабе. Практическое преимущество логарифмического масштаба состоит не только в том, что он лучше выявляет детали спектра, но также и В том, что для этого масштаба, как указывалось в разд. 6.4.3,
16
Глава 7
доверительные интервалы одинаковы для всех частот, и, следовательно, их легко изобразить на рисунке. Поэтому выборочные спектральные оценки всегда следует изображать в логарифмическом масштабе. В то же время масштаб по частоте должен быть линейным, так как ширина полосы частот окна остается константой именно для такого масштаба.
Рис. 7.5. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авто-регрессии первого порядка (<Xi = —0,9).
Средние сглаженные нормированные спектры ^Хх ^)J0X для процесса (7.1.8) показаны на рис. 7.5 для окна Бартлетта с точками отсечения L — 8, 16 и 32. Как и раньше, для всех этих значений L смещение велико вблизи пика и убывает с увеличением L. Судя по этим графикам, ни одна из этих точек отсечения не кажется явно хорошей (возможно, требуется значение L =48). Это подтверждается также, если рассмотреть корреляционную функцию pxx(k), так как \pxx(k)\ равен 0,034 для k = 32 и 0,0012 для k = 64. Следовательно, можно прийти к заключению, что для
(for
Примеры одномерного анализа 17
этого процесса необходимо выбирать очень большое L1 если требуется малое смещение. При этом для того, чтобы получить оценку с малой дисперсией, нужно будет использовать очень длинные реализации. Из рис. 7.5 видно, что при малых L средний сглаженный спектр проявляет некоторые осцилляции. Они возникают из-за боковых лепестков окна Бартлетта, которые мы обсуждали в разд. 7.2.5.
P и с. 7.6. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии первого порядка (осі = —0,9; N = 100).
Трудности при попытках дать хорошую выборочную оценку узкого спектрального пика проиллюстрированы на рис. 7.6. Здесь показана функция RXx(f) для окна Бартлетта при L = 16, 32 и 48, причем реализация состояла из N = 100 членам процесса (7.1.8). При L = 16 получается разумно плавная выборочная оценка, но для точки пика она дает в три раза меньшее значение. Увеличение L до 32 слегка улучшает выборочную оценку вблизи пика и
18
Глава 7
более заметно на низких частотах. Однако теперь появляются осцилляции из-за увеличения дисперсии. При L — 48 выборочная оценка становится очень ненадежной, из чего следует, что для получения более надежной выборочной оценки вблизи пика нужны более длинные реализации. Заметим, однако, что можно получить удовлетворительную выборочную оценку в интервале частот от О
О,/ 1-1-1-1-!_».
О 0,f25 0,25 0,375 Ц5 f,eif
Рис. 7.7. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии второго порядка (ai = 1,0; аг = —0,5).
до 0,45 гц при L = 32 или, возможно, при еще меньшем значении, скажем, L — 24.
Сравнение рис. 7.6 с рис. 7.4, на котором показаны выборочные спектральные оценки для случая ai = —0,4 и Л' = 100, выявляет тот важный факт, что одна и та же длина временного ряда = = 100 может давать приемлемую выборочную оценку для плавного спектра, но быть недостаточной для получения хорошей выборочной оценки спектра с узким пиком.
Примеры одномерного анализа
19
Процесс авторегрессии второго порядка. Чтобы сравнить трудности, возникающие при оценивании спектрального пика, расположенного внутри частотного диапазона, по сравнению с
0,2
0,1
80%-ные доверительные интервалы
ОКНО ПАРЗЕНА
L полоса частот окна .??*—*
24-----
8 -----------------
0,125
0,25
0,375
0,5 f,Sli
P и с. 7.8. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (ai = 1,0; ач = —0,5; N = 50).
рассмотренным выше случаем пика на крайней частоте, рассмотрим процесс авторегрессии второго порядка (5.3.36), т. е.
Xt = Х^-0,5Хм+ Zt. (7.1.9)
Этому процессу соответствует нормированный спектр (6.2.22), а именно
2(0,417)
0</< — 2
Ox 2,25 - 3 cos 2я/ + cos 4nf Этот спектр изображен на рис. 7.7, где показаны также средние сглаженные нормированные спектры FXx(f)jax> соответствующие
20
Глава 7
окну Парзена при L = 8, 16 и 32. Как и раньше, с увеличением L функция Гл-л-(/) приближается к Txx(f). Из табл. 6.6 видно, что значениям L = 16 и 32 соответствуют значения ширины полосы частот спектральных окон 0,12 и 0,06 гц. Если за определение ширины пика принять расстояние между точками, в которых мощность убывает в два раза от пикового значения, то в нашем случае
0,1 I-•-1-1-1-*¦
О 0,/35 0,25 0,375 0,5 f,nu
Рис. 7.9. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (ai = 1,0; a2 =—0,5; N = 400).
