Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что цифровые данные xt, t — 1, N, соответствуют значениям сигнала x(t), отсчитанного через интервалы Д.. В таком случае сглаженная выборочная оценка спектра CXx(f) получается с помощью замены интеграла (6.3.28) соответствующей суммой
i-i
Cxx(f) = A S w (k) CxAQe-™*, ~i<f<jK- (7ЛЛ)
ft = -(L-l)
? (7.1.1) выборочная оценка cxx(k) ковариационной функции равна
N- k
cxx(k) = } S (xt-x){xt+k-x), -(tf-l)<ft<tf- 1, (7І1.2) t-i
и L = M/А. Как и раньше, w(k) обозначает корреляционное окно с точкой отсечения М, но теперь оно определено лишь в дискретные
Примеры одномерного анализа
9
моменты времени и = kA. Отметим, что до оценивания ковариационной функции может возникнуть необходимость фильтрации данных по формулам (5.3.27) или (5.3.31).
Так как Cxx(f)—четная функция частоты, ее нужно вычислять лишь для интервала частот O^Cf^l^A. Но для сохранения соотношения преобразований Фурье между выборочным спектром и выборочной ковариационной функцией нужно удвоить мощность в интервале частот 0^f<^l/2A. Таким образом, обычно используемая формула имеет вид
C,,(f) = 2A
; (0) + 2 схх (k) w (k) cos 2nfkA
0<f <
2Л
(7.1.3)
и функцию (7.1.2) требуется вычислять лишь при k^O.
Для удобства вычислений предположим, что А = 1. При этом все группы данных можно будет обрабатывать одинаково. Таким образом, вычислительная формула принимает вид
схх (/) = 2
Z.-1
схх (0) + 2 схх (k) w (k) cos 2nfk
(7.1.4)
При АФ\ выборочную оценку (7.1.1) можно восстановить по (7.1.4), умножив (7.1.4) на А и построив ее в зависимости от Af, а не от f.
Наконец, если вместо ковариаций использовать корреляции, то можно получить сглаженную выборочную оценку нормированной спектральной плотности по формуле
RxAf) = 2
L-X
1 + 2 rxx (k) w {k) cos 2nfk
Схх (k)
0</<
rxx (k) ¦¦
Схх (0)
(7.1.5)
В работе [2] было предложено вычислять Rxx(f) лишь в точках f = 0, 1/L, 2/L, ..., Vs- Такой шаг по частоте слишком велик, и мы считаем, что для получения более детального графика R~xx(f) ее нужно вычислять с шагом, составляющим лишь некоторую долю от 1/L.
В действительности нет никакой необходимости связывать шаг по частоте для_Л\їЖ(/) с точкой отсечения L. Таким образом, шаг по частоте для RXx(f) можно взять равным 1/2/7, где F в 2—3 раза больше, чем L. Следовательно, окончательная формула для
10
Глава 7
цифровых вычислений сглаженной выборочной оценки нормированного спектра принимает вид
L-I
RxAD- 2
1 + 2 J] г** (*) в» (*) cos-^
1 = 0, 1,
., F- (7.1.6)
Логическая схема соответствующей вычислительной программы приведена в Приложении П7.1.
Вычисление выборочных характеристик. Выборочные корреляции для дискретного процесса авторегрессии второго порядка
3,0
2,0
КО
Ширина полосы частот окна, L-3
Точки по частоте
і
0,125
0,25
0,375
0,50 Г, г»
Рис 7.1. Сглаженная выборочная оценка нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (осі = 1,0; аг = —0,5) с помощью окна Бартлетта.
(5.3.36) приведены в табл. 5.2. Эти величины можно использовать для получения выборочной оценки нормированного спектра 2Txx{f)ja2x следующим образом. Воспользовавшись, например, корреляционным окном Бартлетта
( 1 -4-, 0<6<1; w(k) = { L
I 0, k>L,
получаем из (7.1.6) сглаженную выборочную оценку нормированного спектра
L-I
2 1+2^(1 -{]rxx(k) cos ^f-
/ = 0,1, ...,F.
Примеры одномерного анализа
11
Например, при L = 3 эта выборочная оценка равна
Rxx (/) = 2 [ 1 + 2 (J-) гхя (1) cos Ц- + 2 (1) r„ (2) cos -^-], / = 0,1,...,Л
Если нужны выборочные оценки с шагом по частоте 1Ae гц (так чх0 F = 8), то, взяв значения выборочной корреляционной функции из табл. 5.2, можно расположить вычисления так, как показано в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Пример вычисления выборочной спектральной оценки
J F f 2F nl cos — 2 (|-) (0,645) cos у-(1) 2ЛІ cos-jr- 2 (-1)(0,195) COS-?^ (2) Rxx(l) -2[1 + (1) + (2)]
0 1 8 1 4 3 8 1 2 5 8 3 4 7 8 1 0 1 16 1 8 3 16 1 4 5 16 3 8 7 16 1 2 1,0 0,924 0,707 0,383 0 -0,383 -0,707 -0,924 -1,0 0,860 0,794 0,608 0,329 0 -0,329 -0,608 -0,794 -0,860 1,0 0,707 0 -0.707 -1,0 -0,707 0 0,707 1,0 0,130 0,092 0 -0,092 -0,130 -0,092 0 0,092 0,130 3,980 3,773 3,216 2,474 1,740 1,158 0,784 0,596 0,540
Эти выборочные оценки нормированного спектра показаны точками на рис. 7.1. Видно, что через эти точки можно вполне однозначно провести плавную кривую. На этом же графике крестиками отмечены выборочные оценки с шагом 7з. как это рекомендуется в [2]. Видно, что шаг по частоте в этом случае слишком велик для того, чтобы можно было точно построить график и провести интерполяцию. На графике показана также ширина полосы частот использованного спектрального окна. При L = 3 эта ширина для окна Бартлетта равна
Ъ = b ,/LA= 1,5/(3- 1) = 0,5 гц.
12
Глава 7
Мы видим, что E этом случае ширина полосы равна всему частотному диапазону, и, следовательно, выборочная оценка сильно сглажена.
7.1.2. Влияние ширины полосы частот на сглаживание
В этом разделе эмпирически исследуется влияние изменения полосы частот, или, что эквивалентно, точки отсечения L, на сглаживание выборочной спектральной оценки. Временные ряды, которыми мы будем пользоваться, являются реализациями процессов авторегрессии первого и второго порядков с известным спектром Гл^(7). Вычисляются средний сглаженный нормированный спектр
