Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
эта ширина будет около 0,08 гц. Из рис. 7.7 видно, что при 1 = 8 и 16 пик оценивается плохо, однако при L = 32 смещение достаточно мало из-за того, что ширина полосы частот окна равна 0,06 гц, т. е. меньше ширины пика 0,08 гц. Это наводит на мысль о том, что значение точки отсечения, необходимое для получения выборочной оценки с приемлемо малым смещением, зависит от ширины пика в спектре. К этому замечанию мы еще вернемся 'в разд. 7.2.4.
Примеры одномерного анализа
21
_ Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра Bxx(f), полученные по реализации из TV = 50 членам процесса (7.1.9) с помощью окна Парзена, показаны на рис. 7.8. Использованные в этом примере данные представляют собой первые 50 значений из таблицы данных П7.1 в Приложении П7.4. Выборочные корреляции для этих 50 значений приведены в табл. П7.2. При L = 8 получается плавная выборочная оценка, но без всякого намека на пик внутри частотного интервала. Утроив L до 24, получаем слабо выраженный пик около 0,125 гц, т. е. истинной частоты пика.
Когда L возрастает до 40, появляются многочисленные другие небольшие пики из-за увеличения дисперсии оценки. Следовательно, у нас не было бы полной ясности относительно истинной формы спектра, если бы мы заранее не знали, какое L лучше всего соответствует теоретическому спектру.
На рис. 7.9 показаны выборочные спектральные оценки для того же самого процесса, сосчитанные по реализации из N — = 400 членам. Эти 400 значений приведены в табл. П7.1, а выборочные корреляции, сосчитанные по ним, даны в табл. П7.3. При L — 48 выборочная оценка ближе к истинному спектру, чем любая из выборочных оценок для N — 50, но улучшение не столь велико, как этого можно было бы ожидать. Поскольку при L = 48 число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра равно 31, по-видимому, следовало бы считать, что пик вблизи частоты 0,125 гц действительно существует. Заметим, однако, что этот пик значительно уже теоретического.
7.1.3. Влияние формы окна на сглаживание
Другим относящимся к сглаживанию вопросом, которым мы сейчас займемся, является влияние использования различных спектральных окоп. Мы сравним между собой окна Бартлетта, Тьюки и Парзена.
Для вычисления средних сглаженных нормированных спектров был использован процесс авторегрессии первого порядка (7.1.8). Эти спектры соответствовали корреляционным окнам wB, wT и Wp при фиксированных значениях точки отсечения и обозначались Гд/сп--, F7Jox и Гр/о-|. Такие спектры показаны на рис. 7.10 вместе с теоретическим нормированным спектром Fxx(f)ja\. Все сглаженные спектры получены при значении точки отсечения L, равном 12.
Большое смещение и осцилляции сглаженного спектра для окна Бартлетта явно заметны. Однако вблизи пика окно Бартлетта дает небольшое смещение. Этого следовало ожидать, исходя из формулы (6.3.37), дающей смещения для этих трех окон. Таким
22
Глава 1
образом, смещение для окон Бартлетта связано с первой производной спектра, которая мала в окрестности пика, но велика там, где спектр имеет крутой склон. Равенство (6.3.37) показывает, что главный член в выражении для смещения в окнах Тьюки и Парзена зависит от второй производной спектра, которая мала там,
Рис. 7.10. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии первого порядка (а> = —0,9).
где спектр приблизительно линеен, и относительно велика вблизи пика.
В целом окно Тьюки имеет при данном значении точки отсечения наименьшее смещение. Впрочем, если сравнить окна Парзена и Тьюки с одинаковой шириной полосы частот, то сглаженные спектры будут почти одинаковы по форме.
То же самое можно сказать при сравнении дисперсий оценок, соответствующих этим двум окнам. Согласно (6.4.25),
Ширина полосы частот X Дисперсия = Константа.
Примеры одномерного анализа
23
Следовательно, если ширина полосы частот у двух оценок одинакова, то они имеют одну и ту же дисперсию. Из табл. 6.6. видно, что ширина полосы частот окна Парзена в 1,4 раза больше, чем окна Tdkjkh. Поэтому окно Тьюки с точкой отсечения L=I? ¦¦¦ieeT такую же ширину полосы
частот и такую же дисперсию, что и окно Парзена с L = 12 X 1,4 « 16.
Таким образом, для двух оценок, соответствующих окнам с одинаковой шириной полосы частот, и дисперсия, и смещение приблизительно одни и те же. Отсюда следует, что если два спектральных окна имеют приемлемую форму и одну и ту же ширину полосы частот, то соответствующие им выборочные оценки спектра должны быть очень ог/ похожи. На рис. 7.11 как раз проделано такое сравнение окон Тьюки и Парзена для реализации процесса авто
го
г,о
t,o
ТьюкиL-8 -ПарзенЬ'іг • Тьюки L =32 — Порзен * >
/7
V
регрессии первого порядка Q'o^tf?pef
Рис. 7.11. Сравнение окон Тьюки и Парзена, имеющих эквивалентную полосу частот, на процессе авторегрессии первого порядка (си = —0,9; N = 100).
0,ZS 0,375 Q5 Г,Щ
с at = —0,9 и 100.
Сплошная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при L = 32, а крестики — выборочную оценку Парзена при L = 45. Аналогично пунктирная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при L = 8, а сплошные кружки — выборочную оценку Парзена при L = 12. Согласие при этом столь велико, что можно без опасения утверждать, что при использовании одного из этих окон вместо другого мы не упустили бы ни одной важной особенности спектра. Следовательно, эмпирические результаты этого раздела показывают, что важным вопросом в практическом спектральном анализе является выбор ширины полосы частот, а не выбор формы окна. Эти вопросы мы обсудим полнее в разд. 7.2.4 и 7.2.5.
