Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 + 2 рхх (k) w (k) cos 2nfk
(7.1.7)
и сглаженная выборочная оценка нормированного спектра RXx(f) по формуле (7.1.6). Средний сглаженный нормированный спектр Гм (/)/<** есть математическое ожидание сглаженной оценки нормированного спектра, и, следовательно, нанося его на график вместе cTxx(f)jax, мы получим представление о том, как смещение изменяется с частотой. Нанося на график семейство кривых с различными значениями L, мы наглядно выявим зависимость смещения от ширины полосы частот окна. Точно так же, нанося на график сглаженную выборочную оценку Rxx(f) вместе с Vхх (f)jo-x для
различных значений L, мы получим ясную картину влияния ширины полосы на дисперсию оценки.
Процесс авторегрессии первого порядка (cti = —0,4). Мы будем использовать для вычислений процесс авторегрессии первого порядка (5.2.26) при (Xi = —0,4, Л = 1, ц = 0, т. е.
^=-0,4*,-, +Z,.
Согласно формуле (6.2.20), нормированный спектр этого процесса равен
Тхх (/) _ 2 (0,84) п ^ ? ^ 1
1,16 + 0,8 cos 2nf '
0<f <-.
Этот спектр показан на рис. 7.2. Видно, что ои изменяется очегц> плавно, имеет широкий пик при / = 0,5 гц, и диапазон его изменений в вертикальном направлении очень мал. На этом рисунке приведены также средние сглаженные нормированные спектры Txx{f)jo\ для значений L = 4, 8, 16, соответствующие окну Тьюки. Анализируя эти кривые, мы видим, что при L = 4 средний сгла-
Примеры одномерного анализа
13
женный спектр имеет сильное смещение, особенно вблизи пика, где смещение отрицательно. При увеличении L до 8 соответствие между Yxx(f) и Гл'л-(И_улучшается, особенно для частот, меньших 0,375 гц, для которых Yxx(f) и Yxx{f) фактически неразличимы. Поэтому при L = 8 выборочная оценка имела бы допустимо малое смещение в большей части частотного диапазона. Однако вблизи пика смещение все еще оставалось бы значительным, и, следовательно, чтобы точно оценить значения спектра вблизи пика, не-
I і і_і_iii і і і—»-
О 0./2S 0,25 0,375 0,50 Г,гц
Рис. 7.2. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии первого порядка (ai = —0,4).
обходимо взять L еще больше. Снова удвоив L до L — 16, мы ви дим, что все еще остается небольшое смещение вблизи пика. Уменьшение смещения при этом удвоении L значительно меньше, чем при удвоении от L = 4 до L = 8. Поэтому увеличивать L больше 8, возможно, уже нецелесообразно. Этот факт нетрудно объяснить, если заметить, что для k > 8 выполняются неравенства \pxx{k) I < (0,4)8 < 0,001, и, следовательно, увеличение L больше 8 приводит лишь к незначительным изменениям суммы в (7.1.7). К аналогичным выводам можно прийти и для средних сглаженных спектров, полученных с помощью окон Бартлетта и Парзена. Для окна Бартлетта хорошая выборочная оценка получается, когда L принимает значение где-то между 12 и 16, а для окна Парзена при L = 12.
На рис. 7.3 и 7.4 показаны сглаженные выборочные оценки нормированных спектров, полученные с помощью окна Тьюки для реализаций, состоящих из Л' = 400 и 100 членам этого процесса. На рис. 7.3 мы видим, что увеличение L от 4 до 8 существенно
14
Глава 7
изменяет выборочную спектральную оценку. Дальнейшее увеличение L от 8 до 16 дает лишь незначительные изменения, и, следовательно, разумную выборочную оценку спектра можно было бы получить при /- = 8. Число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра в этом случае равно 133, так что доверительные интервалы очень узкие.
6,0 S1O
У>
3,0 2,0 1,0
Тхх&М-
L полоса частот окна /в .*------
8 —¦ 4
0,125
•Ц25
0,37S
0,5 f, ВЦ
Рис. 7.3. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии первого порядка (ai = —0,4; N = 400).
Ситуация меняется для показанных на рис. 7.4 выборочных оценок, полученных по реализации из N = 100 членам. Здесь увеличение L от 4 до 8 приводит к существенным изменениям выборочной оценки спектра, но еще большие изменения получаются, когда L возрастает до 16 или до 32. Отметим, что при этом вполне явно обозначаются ложные пики на частотах 0,22 и 0,44 гц, возникающие благодаря увеличению дисперсии оценки.
Заметим также, что число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра равно соответственно 33, 17 и 8 для L = = 8, 16 и 32. Выборочная оценка при L = 8 разумно близка к теоретическому спектру, однако, не зная истинного ответа, мы, конечно, испытывали бы некоторую неуверенность при интерпретации этих выборочных оценок. В частности, трудно было бы решить, стоит ли выбрать плавную выборочную оценку при L — 8 или же более детальную, но с большей дисперсией, выборочную оценку при L = 16.
Примеры одномерного анализа
15
Отрезки, равные ширине полосы частот используемого окна, для разных точек отсечения изображены на рис. 7.3 и 7.4. Они представляют собой очень полезную наглядную характеристику, так как дают возможность правильно судить о степени детальности спектра в зависимости от ширины полосы частот используемого окна.
_і__і_і_і_
О 0,125 0,25 0,375 0,5 f,eu
Рис. 7.4. Сглаженные выборочные оценки нормированного снектра процесса авторегрессии первого порядка (cti = —0,4; N = 100).
