Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Временные ряды, которые встречаются на практике, являются дискретными или непрерывными. Примерами дискретных временных рядов являются месячные показатели импорта и экспорта или выход продукции в последовательных партиях химического про-
1.2. Описание временных рядов
цесса при переработке материала порциями (см. рис. 5.2). Примерами непрерывных временных рядов являются данные турбогенератора на рис. 1.1 или отраженный радиолокационный сигнал на рис. 5.1.
1.1.3. Данные, получаемые из эксперимента, и неэкспериментальные данные
Более существенная особенность временных рядов определяется тем, являются ли данные неэкспериментальными или же они получаются из некоторого запланированного эксперимента. Так, временные ряды в экономике и социальных науках являются примерами неэкспериментальных'данных. Экономист обычно в состоянии лишь наблюдать экономическую систему и редко может проводить планируемые эксперименты.
Дальнейшая трудность, связанная с анализом экономических временных рядов, состоит в том, что обычно они содержат мало наблюдений. Из-за этого крайне трудно проверить, хорошо ли согласуется предлагаемая случайная модель с данными. Тем не менее методы анализа временных рядов играют существенную роль в анализе экономических данных [1].
С другой стороны, в технике и физических науках масштаб времени, в течение которого нужно собирать полезные данные, обычно намного меньше, так что можно получить временные ряды, содержащие гораздо больше значений. Кроме того, можно повторить эксперименты при аналогичных условиях, так что справедливость анализа и различных моделей может быть проверена.
1.2. ОПИСАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ВО ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ
В разд. 1.1 утверждалось, что случайный процесс, порождающий наблюдаемый временной ряд, может быть описан распределениями вероятностей, связанными со всеми возможными множествами моментов времени. Определение природы этих распределений вероятности по одному или по малому числу рядов представляет собой невозможное или даже бессмысленное занятие. В этом разделе мы обсудим некоторые из наиболее важных упрощений, которые приняты в анализе временных рядов для того, чтобы сделать этот анализ выполнимым и в то же время плодотворным.
Важнейшие предположения о временных рядах заключаются в том, что соответствующий случайный процесс является стационарным и может быть адекватно описан с помощью младших моментов его распределения вероятностей. Младшие моменты включают в себя среднее значение, дисперсию, ковариационную функцию и преобразование Фурье ковариационной функции — спектр мощности. Другой подход к вышеизложенной проблеме основывается на
18
Гл. 1. Цели и средства анализа временнйх рядов
предположении, что случайный процесс может быть адекватно описан с помощью некоторой модели, содержащей небольшое число параметров, которые могут быть оценены по данным. Обсудим теперь кратко эти упрощающие предположения.
1.2.1. Стационарность
Проверка выходного сигнала генератора шума в течение ограниченного промежутка времени показывает, что различные участки выходного сигнала похожи. Напротив, характерная черта экономического ряда, такого, как валовой национальный продукт индустриальной страны, состоит в том, что его уровень стремится увеличиться с течением времени, и поэтому различные участки этого ряда не будут сравнимы. Говорят, что выходной сигнал генератора шума является стационарным временным рядом, в то время как про временной ряд валового национального продукта говорят, что он нестационарный.
Качественно стационарный ряд—это такой ряд, который находится в статистическом равновесии, в том смысле, что он не содержит никаких трендов, тогда как нестационарный ряд таков, что его свойства изменяются со временем. Ряды, встречающиеся на практике, принадлежат обычно к одному из трех видов: ряды, проявляющие свойства стационарности в течение долгих периодов времени, например выходные сигналы генераторов шумов; ряды, достаточно стационарные в течение коротких периодов времени, например измерения атмосферной турбулентности, и ряды, которые являются явно нестационарными в том смысле, что их видимые свойства непрерывно изменяются со временем.
Большинство методов, имеющих дело с нестационарными временными рядами, основано на способах устранения или отфильтро-вывания нестационарной части, так что остается ряд, с которым можно обращаться как со стационарным. В одной из недавних работ [2] приведены модели, которые могут описывать нестационарные ряды.
Так как статистические свойства стационарных рядов не изменяются со временем, то эти свойства можно накопить и выявить с помощью вычисления некоторых функций от данных. Функция, которую впервые использовали для этой цели, является автоковариационной функцией.
1.2.2. Автоковариационная функция
При классической статистической обработке измерения xt (/=1, 2, ..., N) некоторого физического параметра можно считать независимыми, поскольку эксперименты, порождающие эти наблюдения, физически независимы. Если связанное с этими измерениями рас-
