Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Часто случается, как это было в только что изложенном примере, что первоначально предполагаемая модель временного ряда впоследствии может оказаться несовершенной. Природа этого несовершенства пробной модели может быть использована тогда для ее модификации и построения более совершенной модели.
Эмпирические и физические модели. В некоторых случаях можно построить детальные модели временного ряда, основанные на физике, лежащей в основе явления. Например, большие усилия были затрачены на построение моделей атмосферной турбулентности [3] и гидродинамической турбулентности [4]. В других ситуациях об исследуемом явлении известно так мало, что нужно прибегать к подгонке эмпирических моделей, таких, как модель скользящего среднего — авторегрессии (1.2.9). Большое преимущество физических моделей состоит в том, что они обычно требуют меньшего количества параметров, чем эмпирические модели. Чтобы принять решение о том, тратить ли время и усилия для нахождения физической модели или же прибегнуть к помощи эмпирической модели, требуется рассудительность и интуиция. Вообще необходимо идти на компромисс и использовать любые доступные физические сведения, чтобы иметь основу в начале построения.
26
Гл. 1. Цели и средства анализа временных рядов
Параметрические и непараметрические модели. Модель скользящего среднего— авторегрессии (1.2.9) является параметрической моделью. Чтобы подобрать такую модель, нужно оценить по наблюдаемым данным небольшой набор параметров. С другой стороны, описание временного ряда, даваемое автокорреляционной функцией или спектром, является непараметрическим (или многопараметрическим, так как для того, чтобы задать весь процесс, требуется действительно бесконечное число параметров).
Линейная х2(П Рис. 1.5.
Вход система Выход бражение
Схематическое изо-
Оценка динамической модели линейной системы, показанной на рис. 1.5, представляет собой задачу, к которой можно применить оба эти метода. В простейшем случае, когда имеется один вход х\ и один выход х2, динамическую модель можно оценить по записям Xi(t), X2(t) входного и выходного сигналов. Например, может быть известно, что некоторая простая параметрическая модель, такая, как
dt
является подходящей. Эта модель содержит один параметр Т, называемый постоянной времени этой системы. В других случаях более подходящим является описание системы с помощью некоторой непараметрической модели, требующей задания функции усиления G(f) и фазовой характеристики cp(f) этой системы. Они являются функциями, описывающими отклик системы на косинусоидальные волны с различными частотами f. Так, входная косинусоидальная волна Xi(t) = a cos2nft появляется на выходе как косинусоидальная волна X2 (t) = aG (f) cos (2nft-\-($ (/)), т. е. ее амплитуда изменилась от а до aG(f), а фаза сдвинулась на ф(/). В гл. 10 будет показано, что анализ взаимных спектров можно использовать для оценки коэффициента усиления и сдвига фазы линейной системы.
В некоторых ситуациях амплитудно-фазовое описание предпочтительнее, так как модель может быть нужна лишь в ограниченной полосе частот. В других может оказаться лучше полное описание, даваемое параметрической моделью.
Поскольку спектральный анализ является непараметрическим методом, его применение в области построения моделей ограничено. Однако он полезен иногда, как это было в упомянутом выше примере с турбулентностью, для выдвижения пробных моделей, которые можно затем подобрать параметрически.
1.3. Цели анализа временных рядов
27
1.3.2. Использование моделей временных рядов
Модели временных рядов используются для различных целей. Наиболее распространенными из них являются: а) прогнозирование, б) оценивание передаточных функций, в) фильтрация и управление, г) имитация и оптимизация и д) создание новых физических теорий.
Прогнозирование. Под прогнозированием понимается оценивание будущих значений x(t + T) временного ряда из некоторого интервала будущих значений О^Г^/ по значениям временного ряда до момента t включительно. Прогнозирование экономических и промышленных временных рядов представляет очень важное применение временных рядов и обсуждается в работе [2].
Оценивание передаточных функций. Это применение обсуждалось выше.
Фильтрация и управление. Более общей задачей, чем описанное выше прогнозирование, является задача линейной фильтрации в том виде, как она была сформулирована Винером [5, 1*]. Линейный фильтр представляет собой устройство, которое, действуя на входной сигнал Xi(t), дает выходной сигнал X2(O согласно формуле
OO
x2(t)=lh{u)Xi(t — u)du, (1.3.1)
о
где h(u)— весовая функция, или функция отклика фильтра на единичный импульс. Предположим, что на вход подается процесс Xi(t) = s(t)+z(t), где s(0 — сигнал, или полезная информация, a z(t) — шум, или нежелательная информация. Требуется найти, как показано на рис. 1.6, такой фильтр, который давал бы на выходе некоторую функцию от сигнала в будущий момент времени Т. Например, желаемый выход мог бы быть следующим:
g[s(t + T)}^4-[s(t+T)\.
В этом случае оптимальный фильтр определяется как весовая функция, которая минимизирует средний квадрат сигнала ошибки
