Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
22
Г л. 1. Цели и средства анализа временных рядов
В гл. 6 будет также показано, что спектр и автоковариационцая функция связаны соотношением преобразования Фурье
OO
Г (/) = J T (и) cos 2я/и du, (1.2.7)
Рис. 1.3. Выборочная оценка спектра для изображенных на рис. 1.1 данных
Af=IOOO.
и поэтому знание автоковариационной функции процесса эквивалентно знанию спектра процесса.
Однако при анализе записей конечной длины спектр часто предпочтительней, чем автоковариационная функция. Во-первых, оценки спектра на соседних частотах приближенно независимы, и поэтому выборочный спектр обычно легче интерпретировать, чем выборочную автоковариационную функцию. И во-вторых, что важнее, во многих физических задачах спектр представляет непосредственный
1.2. Описание временных рядов
23
физический интерес. Примеры использования спектрального анализа будут даны в разд. 1.3.
Цифровые фильтры. Хотя для описания случайного процесса с помощью его спектра и необходимо предполагать стационарность, на практике предположение стационарности не представляет серьезной проблемы. Это происходит из-за того, что спектр отделяет
О 0,125 0,25 0.375 0,5
f. SIi
Рис. 1.4. Функция усиления для фильтра первых разностей.
вклады во временной ряд, которые можно приписывать различным частотным полосам. Нестационарный ряд обычно характеризуется присутствием большой мощности на низких частотах. Однако во многих практических приложениях представляющая интерес информация может быть сосредоточена на высоких частотах. В таких случаях все, что нужно сделать, — это отфильтровать нестационарные низкочастотные компоненты и использовать оставшийся ряд для спектрального анализа.
Особенно простой вид цифрового фильтра для устранения низкочастотных компонент представляет собой фильтр первых разностей
у, = (*,-*,_,). (1.2.8)
24
Гл. 1. Цели и средства анализа временных рядов
Коэффициент усиления G(f) этого фильтра показан на рис. 1.4. Он характеризует степень пропускания фильтром косинусоидальной волны частоты /. Видно, что низкие частоты значительно ослаблены и, следовательно, будут менее заметны на выходе фильтра.
І.2.4. Параметрические модели временных рядов
Во многих задачах, таких, например, где требуется предсказать будущие значения ряда, необходимо построить параметрическую модель для временного ряда. Для того чтобы модель была полезной, она должна иметь физический смысл и включать по возможности небольшое число параметров. Мощной параметрической моделью, которая широко используется на практике для описания эмпирических временных рядов, является процесс скользящего среднего — авторегрессии:
Xt — (x = a, (X^1 - [x) + ... +^mi^t-m — ^) +
+ Z, +?.Z^,+ ... + ?^-,. (1.2.9)
где Z1 — чисто случайный ряд, или белый шум, и \л — средний уровень Xt- Модель (1.2.9) имеет физический смысл, так как она является дискретным аналогом хорошо известного линейного дифференциального уравнения, используемого для описания линейных систем. Таким образом, эта модель представляет временной ряд в виде выходного сигнала некоторой линейной системы, на вход которой подается белый шум. Вводя подходящее число параметров а и ? в (1.2.9), можно после соответствующих вычислений [2] сопоставить большинству эмпирических временных рядов относительно небольшое число параметров.
Решение о том, использовать ли автоковариационную функцию, спектр или параметрическую модель, будет определяться на практике требованиями конкретной ситуации. Различные условия потребуют различных методов подхода, и поэтому важно уяснить, что не существует единого подхода, который нужно было бы применять к анализу временных рядов во всех ситуациях.
1.3. ЦЕЛИ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
В этой книге будет описано несколько различных применений спектрального анализа. Поскольку спектральный анализ является почти единственным оружием, имеющимся в распоряжении для анализа временных рядов, полезно обсудить природу задач, касающихся временных рядов, в несколько более общей постановке.
Задачи о временных рядах можно классифицировать, рискуя впасть в слишком сильное упрощение, на те, которые требуют в той или иной форме построения моделей, и те, которые приводят к изу-
1.3. Цели анализа временнйх рядов
25
чению частотных характеристик. Эти категории неизбежно должны несколько перекрываться.
1.3.1. Построение моделей
Легко можно отличить друг от друга несколько различных видов моделей, например пробную и усовершенствованную, эмпирическую и физическую, параметрическую и непараметрическую.
Пробная и усовершенствованная модели. На ранних стадиях работы исследователь может знать очень мало о каком-нибудь конкретном явлении. Основная цель анализа временных рядов на этом этапе может состоять в том, чтобы посмотреть на данные с различных точек зрения и увидеть, какие можно выдвинуть гипотезы. Например, изучение спектра поля вертикальных скоростей атмосферной турбулентности [3] показывало, что пик этого спектра сдвигается в сторону низких частот с увеличением солнечной радиации. Это наводило на мысль, что существуют две различные причины флуктуации атмосферной турбулентности: высокочастотная компонента, обусловленная силами трения, и низкочастотная компонента, обусловленная тепловой конвекцией, вызванной солнечной радиацией. В результате после этого пробного анализа оказалось возможным начать построение более реальной модели атмосферной турбулентности.
