Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
В этих книгах рассматриваются главным образом вопросы оценивания спектров одиночных временных рядов. В настоящей книге эти понятия распространяются на случай оценивания спектров и взаимных спектров нескольких временных рядов и их последующего использования для оценки коэффициентов усиления и фазовых характеристик линейных систем.
Несколько разделов спектрального анализа не включены в эту книгу. Среди них важным является спектральный анализ случайных процессов, зависящих от нескольких переменных *), например высоты океанских волн как функции земных координат. Другой опущенный раздел— спектры высших порядков, например биспектр. Спектры высших порядков полезны при анализе негауссовских процессов и нелинейных систем. Случайные поля были опущены из-за того, что книга и так уже очень велика. Что касается нелинейных спектров, то они были опущены главным образом потому, что, по нашему мнению, дополнительные усложнения, вносимые этими спектрами, затрудняют их широкое использование. По данным, имеющимся к настоящему времени, чувствуется, что параметрические методы больше подходят в этих ситуациях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Granger С. W. J., Spectral Analysis of Economic Time Series, Princeton Univ. Press, Princeton, 1964.
2. Box Q. E. P., Jenkins Q. M., Time Series Analysis Foretasting and Control, Holden-Day, San Francisco, 1970.
3. L u m 1 e у J. L., P a n о f s k у H. A., The Structure of Atmospheric Turbulence, John Wiley, New York, 1964. (Русский перевод: Л а м л и Дж., Панов-ский Г., «Структура атмосферной турбулентности», M., изд-во «Мир», 1966.)
4. Ba tchelor G. К., The Theory of Homogeneous Turbulence, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1953.
5. Wiener N., The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications, John Wiley, New York, 1949.
*' В советской литературе такие случайные процессы называются случайными полями.— Прим. перев.
32
Литература
6. L а п і п g J. H., В a 11 і n R. H., Random Processes in Automatic Control, McGraw-Hill, New York, 1956. (Русский перевод: Лэнинг Дж. X., Бет-тин Р. Г., Случайные процессы в задачах автоматического управления, M., ИЛ, 1958.)
7. В art let t М. S., An Introduction to Stochastic Processes with Special Reference to Methods and Applications, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1953. (Русский перевод: Б a p т л e т т М. С, Введение в теорию случайных процессов, M., ИЛ, 1958).
8. Blackman R. В., T u key J. W., The Measurement of Power Spectra from the Point of View of Communications Engineering, Dover, New York, 1958.
Глава 2
АНАЛИЗ ФУРЬЕ
Спектральный анализ объединяет два важных теоретических подхода: статистический анализ временных рядов и методы анализа Фурье. Последние не нуждаются в подробном изложении для инженеров, так как значительная часть инженерной подготовки базируется на этих методах. Однако ради полноты изложения и для удобства других читателей в этой главе будут описаны те понятия анализа Фурье, которые необходимы для анализа временных рядов. В последующих главах будет показано, как должны быть модифицированы методы Фурье для обработки функций времени, которые являются скорее статистическими, чем детерминированными.
2.1. ВВЕДЕНИЕ
2.1.1. Роль анализа Фурье в прикладной математике и в технических науках
Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768—1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики. Особенно важны они для трех приложений: а) для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, возбужденных щипком, или для передачи электромагнитных волн по волноводам или кабелям; б) как операционный способ решения дифференциальных уравнений; например, обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можно перевести с помощью преобразования Фурье в алгебраические уравнения; в) для приближения непериодических функций.
В этой книге мы будем иметь дело в основном с последним слу* чаем и лишь эпизодически с решением дифференциальных уравнений. Периодические решения физических задач рассматриваться не будут. В качестве примера приближения непериодической функции рассмотрим детерминированную функцию s(t) времени t, которую будем называть сигналом и которую нужно аппроксимировать с помощью выбранных подходящим образом периодических функций. Детерминированный сигнал является функцией, которая
2 Заказ № 1210
34
Гл. 2. Анализ Фурье
известна точно для всех моментов времени, и поэтому представляет математическую идеализацию. Примерами детерминированных сигналов являются
S(Z) = (T1'1, -оо <Z < оо,
или
s (t) = azos2v:fxt, —со оо.
Многие сигналы, встречающиеся на практике, полезно рассматривать как детерминированные, например следующие: напряжение в сети как функцию времени; выход генератора прямоугольных волн; перемещение предмета, подверженного внезапному воздействию постоянной силы; ток, протекающий через сопротивление, когда оно внезапно замыкается на заряженный конденсатор. Размерность первых двух сигналов выражается в вольтах, третьего — в метрах и четвертого — в амперах. Однако размерность сигнала могла бы быть и метром в секунду, если бы сигнал был скоростью, и единицей температуры, давления и т. д. Для того чтобы не возникало противоречий, всегда будет предполагаться, что t измеряется в секундах, a s (t) — в вольтах, поскольку в большинстве практических приложений изучаемая физическая величина перед регистрацией переводится в напряжение.
