Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
1.2. Описание временных рядов
19
-пределение вероятностей fx (х) является нормальным, или гауссов-еким, то его можно полностью задать своим средним значением *>
P = E[X] = J Xfx (х) dx (1.2.1)
t -ос
- и дисперсией
-Г OO
а2 = ?[(*-р.)2]= J (X - ^)2 fx (X) dx. (1.2.2)
— CX)
* Среднее значение определяет расположение, или центр тяжести рас-\ пределения, а дисперсия характеризует его изменчивость, или разброс.
Если наблюдения xt образуют часть временного ряда, то только для чисто случайного ряда соседние величины будут независимы, т. е. на значение величины xt не влияют значения величин xt-i, Xt-2, .. . . В общем случае соседние величины временного ряда будут "Коррелированы. Поэтому в случае стационарного нормального ряда, кроме среднего значения \х и дисперсии о2, необходимо задать его автоковариационную функцию
T (и) = E [(X (t) — p.)(X(t + u) — \>.)]. (1.2.3)
На практике у(и) может быть оценена с помощью
N — u
c(«) = j2 U - х) (xt+u - х), (1.2.4)
где
1 N
( = 1
является средним значением наблюденного временного ряда. ,Функция с (и) называется выборочной автоковариационной функцией временного ряда. Иногда удобно для сравнения рядов с разными масштабами измерений нормировать (1.2.4) с помощью деления на дисперсию с(0). Таким образом, определяется выборочная автокорреляционная функция
г («) = -$*-. (1.2.5)
Выборочная автокорреляционная функция для данных турбогенератора, изображенных на рис. 1.1, приведена на рис. 1.2. Видно, что напряжение имеет высокую положительную корреляцию при
*) Символом E [...] всюду в этой книге обозначается математическое ожидание случайной величины.— Прим. перев.
20
Гл. 1. Цели и средства анализа временных рядов
сдвиге на одну точку, что соответствует V2 сек, сохраняет некоторую положительную корреляцию после 1 сек, но в интервале от іУг до 24/г сек проявляет явную отрицательную корреляцию. Это означает, что если имеет место большое напряжение, превышающее среднее значение, то весьма вероятно, что примерно через 2 сек напряжение спадет ниже среднего значения, и наоборот. Выборочные оценки г(и) для сдвигов от 2Уг до 10 сек очень малы, но устойчиво отрицательны; это означает, что в среднем положительное отклонение от
Рис. 1.2. Выборочная автокорреляционная функция для данных, изображенных
на рис. 1.1, Af=IOOO.
среднего значения имеет тенденцию к последующему отрицательному отклонению с задержкой от 2 до 10 сек. Однако значения г(и) в этой области крайне малы, и поэтому выводы, основанные на них, могут быть ненадежны. При больших значениях аргумента выборочная корреляционная функция обнаруживает периодичность формы напряжения с периодом примерно 3 сек. Эта периодичность, возможно, также может давать некоторый вклад в отрицательную корреляцию для сдвига около 2 сек.
Автокорреляционная функция полезна в некоторых случаях, поскольку она дает наглядную картину того, как зависимость в ряде затухает с увеличением задержки или разделяющего промежутка и между точками ряда. Однако иногда автокорреляционная функция с трудом поддается интерпретации, так как соседние значения могут быть сильно коррелированы. Это означает, что выборочная ав-
1.2. Описание временных рядов
21
токорреляционная функция может иметь видимые искажения. Более детальное описание свойств и применений автокорреляционной функции дается в гл. 5. В этой книге мы будем использовать ее главным образом как промежуточную ступень при оценке спектра.
1.2.3. Спектр
Предположим, что временной ряд xt состоит из значений коси-нусоидальной функции (1.1.1), отсчитываемых в дискретные моменты. Тогда можно проверить, что для частот /0, кратных основной частоте 1/JV, дисперсия, подсчитанная по формуле (1.2.4), равна а2/2. Если Xt измеряется в вольтах, то это означает, что средняя мощность переменного тока, или дисперсия ряда, равна а212вт. В более общем случае, когда xt состоит из смеси нескольких косинусои-дальных волн с частотами fi и амплитудами а,, дисперсия равна
с(0) =2 ~Fa<- О-2-6)
і
Результат (1.2.6) показывает, что если х( можно считать состоящим из смеси косинусоидальных волн, то его дисперсию можно разложить на компоненты со средней мощностью, или дисперсией, а2/2,
соответствующие различным частотам f<. В гл. 6 будет показано, что если Xt является стационарным временным рядом, то дисперсию соответствующего случайного процесса можно разложить на компоненты, интегрируемые по непрерывной области частот, согласно формуле
OO
о2 = 7(0)= J Г (/)<//,
— OO
где F(f) называется спектром мощности этого случайного процесса. Таким образом, T(f)6f есть приближенная мера средней мощности, или дисперсии, в полосе частот от f до f + of.
Выборочная оценка спектра данных турбогенератора, приведенных на рис. 1.1, показана на рис. 1.3. Отличительная черта этого спектра состоит в том, что высокая мощность сосредоточена на низких частотах, а на высоких частотах мощность невелика. Это происходит главным образом из-за больших положительных значений выборочной автокорреляционной функции при сдвигах, равных 1 и 2. Заметим также, что мощность не спадает равномерно от низких к высоким частотам. Вместо этого имеется плоская область в районе О—'/г гц. Имеется также хорошо выраженный небольшой пик на частоте 0,39 гц, или периоде 2,54 сек, который, возможно, объясняет небольшую периодичность выборочной корреляционной функции на рис. 1.2 при больших значениях аргумента.
