Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Детерминированная функция, упомянутая в первом случае, является непериодической, в то время как во втором случае функция — периодическая. Слово «периодическая» означает, что сущест-. вует число Т, называемое периодом функции, такое, что
s (t) = s (t + 7") (2.1.1)
для всех t.
Между моментами времени t и t + T функция может иметь совершенно произвольную форму. Особенно простой формой обладает косинусоидальная функция в упомянутом выше примере, которая HMCeTnCpHOAr=IZZi5TaKKaK
acos2-rc/, t -f- T^J = а cos 2^//.
Непериодическую функцию можно представить, используя любой класс периодических функций. В анализе Фурье такими функциями являются синусоидальная и косинусоидальная. Они обладают важным свойством ортогональности, так что коэффициенты можно находить независимо друг от друга.
2.1.2. Конечные ряды Фурье
Рассмотрим сигнал, заданный лишь в дискретные моменты времени, и предположим, что нужно разложить его по периодическим функциям. Дискретный сигнал можно рассматривать как полученный из непрерывного сигнала s(t) длительности T при отсчете зна-
2.1. Введение
35
чений сигнала через интервалы времени Д, как показано на рис. 2.1а. Это дает N = T/А выбранных значений sr, где
sr = s(/=M). (2.1.2)
Для удобства будем считать, что N четное и равно 2п, так что г может изменяться по целым числам —п,..., О, 1, ..., п—1,
Рис. 2.1. а — дискретный сигнал, полученный выбиранием из непрерывного сигнала; б — основная синусоида и гармоники.
Заметим, что периодические функции, проходящие через значения сигнала, в указанные N моментов времени, могут быть выбраны бесконечным множеством способов. Например, конечный ряд Фурье
. л-1
і(/)=Л0+2 2 {Amzos2-Kmflt-\-Bm^2v:mflt)-{-An<:os2'Knflt
m = l
(2.1.3)
2Р
36
Гл. 2. Анализ Фурье
содержит N констант Ат и Вт, которые можно определить так, чтобы дискретные и непрерывные значения совпадали в точках
t = rA, т. е. sr(t) = Sr. Следовательно, функция s (t) дает приближение к исходной непрерывной функции s(t) в интервале—T/2^t<
<Т/2. Заменяя t на гА в (2.1.3) и полагая s(rA) = sr, получаем систему N уравнений для N неизвестных констант. Уравнения имеют вид
л-1
s, = A0 -f- 2 2 (Am cos 2t/re/,/"Д -f- Bm sin 2пг/и/,гД) -f-
m = l
+ Ancos2««ArA (r=—n, .... О, 1, я —1). (2.1.4)
Выбрав f\=l/NA, мы сильно упростим решение системы уравнений (2.1.4), так как при этом синусы и косинусы будут ортогональны, т. е. будут удовлетворять следующим соотношениям:
h-i
2-nkr___2лтг
sin
N
cos ¦
N
-О, k, тп целые;
2-nkr . 2xmr sin —г;— sin
N
N
л —1
^ cos >г cos
т =—п
N
N
0, k^m,
k = m^0, п, 0, k = m = 0, п;
N_
2
0, А =?/п, -j-, k = m=?0, п, N, k = m = 0, п.
(2.1.5)
Частота fi—1/NA называется основной частотой сигнала s(t); она соответствует периоду, равному длине записи, как показано на рис. 2.1,6. Величина /ч измеряется в периодах в секунду, или герцах (гц), если t измеряется в секундах (сек).
Таким образом, функция s'(t) в (2.1.3) составлена из суммы синусоидальных и косинусоидальных функций, частоты которых кратны основной частоте ft, т. е. являются гармониками основной частоты, как показано на рис. 2.1, б. Наивысшей из присутствующих частот является n/NA= 1/2Д гц, что соответствует периоду, равному двум интервалам отсчета.
Коэффициенты An или Вт в случае fi=l/NA можно найти, умножая обе части (2.1.4) на cos (2nmr/N) или sin (2nmr/N) и суммируя по г, а затем воспользовавшись соотношениями ортогональности (2.1.5).
2.1. Введение
37
Окончательные выражения для коэффициентов следующие:
п — 1
Am = ~W 2rf SrCOS^r-, (2.1.6)
т = —п
л-1
?« = l2 ^sin-^-, (2.1.7)
г = —л
где m = 0, 1, ..., п. Aa является средним значением, или средним арифметическим, величин sr. Аналогичные выражения можно получить, когда число точек N нечетно, скажем 2п— 1, причем единственное отличие будет лишь в том, что член An исчезает.
Пример. Рассмотрим данные табл. 2.1., которая дает интенсивность сигналов, отраженных от одного из слоев E в ионосфере. Приведенные цифры являются осредненными по нескольким месяцам значениями интенсивности в фиксированное время суток.
Таблица 2.1
Интенсивности сигналов, отраженных от ионосферы
Время О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 п
Средняя интен- -6 -20 -28 —8 —1 7 —20 -6 -7 14 19 12
сивность
Табл. 2.2 дает значения коэффициентов A7n и Вт, вычисленные по (2.1.6) и (2.1.7), причем за начало отсчета времени бралось 6 час. Коэффициент Л2, например, получается следующим образом:
Л2 = lV {(-6)cos (~2тс) + (-2°) cos (—Г") + ¦ • • + + (12) cos (^)} = tV {-6-10+...+6} = -2,25.
Амплитудное и фазовое представление. Иногда удобнее записывать (2.1.3) в виде
п — 1
*(0 = #о + 2 2 cos (2теотЛ*+ ?„) + /?„ cos 2ісл/,/, (2.1.8)
m = l
где ?>т = У Al +Bl1, ?m = arctg(--^-) (2.1.9)
и Am = Rncos cpm, Bm=-Rmsm<?nt. (2.1.10)
38
Гл. 2. Анализ Фурье
Rm называется амплитудой и <рт — фазой т-й гармоники относительно некоторого произвольного начала отсчета времени. В приведенных выше формулах начало отсчета времени бралось в точке, расположенной примерно посередине между первым и последним значениями sr. Если бы мы изменили это начало отсчета, то амплитуда осталась бы прежней, а фаза изменилась соответствующим образом. Амплитуды и фазы для ионосферных данных приведены в табл. 2.2.
