Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
B(t)=x2(t)-g[s(t + T)]
между действительным и желаемым выходными процессами. Если в распоряжении имеются модели для случайных процессов, описывающих сигнал s(t) и шум z(t), то можно использовать разработанные методы [6] вычисления коэффициента усиления и фазовой характеристики оптимального фильтра. Фактически вычисление
28
Гл. 1. Цели и средства анализа временных рядов
оптимального фильтра осуществляется легче по спектрам сигнала s (t) и шума z (t).
В теории управления требуется следить за некоторым заданным сигналом s(t) с возможно меньшей ошибкой. Можно показать [6], что эта задача сводится к частному случаю задачи фильтрации, описанной выше.
Сигнал
zff) шум
x,(t)
Вход
s(t)
Вход
Линейный фильтр
Идеальная
передаточная
Функция
x,(t)
Выход
Выход
e(t) Ошибка
Рис. 1.6. Схематическое изображение общей задачи фильтрации.
Имитация и оптимизация. Многие системы, например системы электронного управления, являются слишком сложными, для того чтобы их изучать или оптимизировать аналитически. В таком случае система может быть имитирована с помощью аналоговых, числовых и гибридных вычислительных машин. Возмущения, попадающие в реальную систему в различных местах, можно измерить, и, если таких данных достаточно, они могут быть поданы непосредственно в имитатор. Однако объем данных, требуемых для изучения имитации, обычно так велик, что возникает необходимость подобрать модели для возмущений. Эти модели затем можно использовать для генерирования неограниченного количества искусственных данных, которые затем можно использовать в имитации.
Создание новых физических теорий. Изложенные выше применения моделей временных рядов относятся к инженерным задачам. Применение анализа временных рядов в физике отличается несколько иным подходом. Физик интересуется созданием теорий физических явлений, которые можно использовать для предсказания в возможно более широком диапазоне ситуаций. Поэтому изобретаемые им модели являются более детальными, чем те, которые используют инженеры, и должны постоянно модифицироваться и расширяться по мере все большего понимания физической сущности
1.3. Цели анализа временных рядов
29
явлений. Использование анализа временных рядов при построении физических моделей атмосферной турбулентности хорошо проиллюстрировано в [3].
1.3.3. Изучение частотных характеристик
Хотя спектральный анализ и играет большую роль в построении моделей временных рядов, однако наиболее подходящим он является в задачах изучения частотных характеристик.
Выше упоминалось, что линейная система (1.3.1) преобразует косинусоидальную входную волну Xi{t) = a cos 2nft в косинусо-идальную выходную волну X2(O = aG(f) cos (2nft + (p(f)). В гл. 6 будет показано, что если xf(0 — стационарный временной ряд, то изменение спектра входного процесса состоит в умножении его на квадрат коэффициента усиления фильтра. Значит, спектр х2(0 равен
Г2(/) = 02(/)Г,(/). (1.3.2)
Рис 1.7 показывает результат прохождения входного сигнала со спектром, обозначенным буквой а этого рисунка, через три системы, квадраты коэффициентов усиления которых даны у буквы б. В примерах, проиллюстрированных на рис. 1.7, входной сигнал характеризует неровности взлетно-посадочной полосы, система представляет собой шасси самолета, а выходным сигналом является типичная реакция самолета, такая, как ускорение его центра тяжести. Используя результат (1.3.2), нетрудно увидеть, что сочетание входного спектра с частотной характеристикой шасси, отмеченной цифрой 3, дает выходной спектр с очень острым пиком, как показано на рис. 1.7, в. Это показывает, что на данной резонансной частоте будут возникать большие ускорения, создающие неприятные ощущения у пассажиров и приводящие к большим напряжениям в шасси. Зная графики коэффициентов усиления для шасси типичных самолетов при типичных посадочных скоростях, можно составить нормативы для неровностей взлетно-посадочных полос.
В только что разобранном примере можно было изменять входной спектр, конструируя соответствующие взлетно-посадочные полосы, но характеристики шасси определяются обычно из других соображений и поэтому должны рассматриваться как фиксированные. Наоборот, при конструировании узлов подвески для мотоциклов и автомобилей картина обратная. В последние годы конструирование систем подвески в некоторых компаниях основывается на измерениях неровностей дорог в конкретной стране. Характеристики дорог сильно изменяются от страны к стране, и поэтому системы подвески должны проектрироваться соответственным образом.
Изучение частотных характеристик можно применять также при конструировании самолетов и для планирования экспериментов
Рис. 1.7. Результат воздействия пиков входного спектра, амортизации и скоро*
сти на отклик самолета.
1.4. Круг вопросов, рассмотренных в книге
31
с целью оптимизации промышленных процессов. Эти применения обсуждаются подробнее в гл. 7.
1.4. КРУГ ВОПРОСОВ, РАССМОТРЕННЫХ В ДАННОЙ КНИГЕ
Нет никакого сомнения, что спектральные методы призваны сыграть важную роль в анализе временных рядов. Однако важно уяснить, что они действительно имеют ограничения и должны применяться разумно. Первые результаты по оцениванию спектров, основанному на записях конечной длины, можно найти в книгах Барт-лента [7] и Блэкмана и Тьюки [8].
