Понятие массы в классической и современной физике - Джеммер М.
Скачать (прямая ссылка):
6 Терминология в научной литературе в этом отношении непоследовательна. Французские теоретики обычно используют термин theorie unitaire в смысле английского unified theory; см., например, A. Lichnerowicz, Theories relativistes de la gravitation et de l^lectromagn?tisme (Paris, 1955), p. 150. Ржевуский использует термин «унитарный» в смысле нашего «масс-унитарный» и т.д.; J. Rzewuski, Field theory (Warsaw, 1958), p. 259.
:200 поля, которые мы будем обсуждать первыми. Для того чтобы проверить, является ли классическая теория электромагнитного поля масс-унитарной, напомним, что
импульс Pm и энергия E ^или, более точно, частицы
(электрона) образуют четырехмерный вектор. Если Fik — тензор электромагнитного поля 6, a fk — плотность силы Лоренца, то
/^-4-^-їг- (2)
Известно, что fk связано с тензором энергии-импульса
электромагнитного поля Tmn уравнением
/*=-?-- (3)
где
Tkn = -^jT (FkrFтп + ~ бhriFqpFqp^ . (4)
Интегрируя левую часть уравнения (3) по инвариантному четырехмерному объему dQ = dxx dx2 dx3 dxk (dx4 = icdt)y получим
iCl 5 S I fi dV dt ^ІС \F*dt = icGmx> (5^
где Fx есть ^-компонента силы, действующей на частицу, a Gmx = Pmx есть х-компонента (механического) импульса частицы. Для временной компоненты получим
ІС И И hdVdt==z - J wdv^ -Я* (6)
где W обозначает плотность энергии. Так как интегрирование четырехмерного вектора по инвариантному объему dQ не разрушает тензорного характера четырехмерного вектора, то становится ясно, что импульс и энергия частицы снова комбинируются в четырехмерный вектор.
в См. JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теория поля» M., 1960, стр. 76—79 Повторение индексов предполагает суммирование.
:201 Вычисляя интеграл в правой части уравнения (3), получим для пространственных компонент
где интеграл от дивергенции преобразуется в поверхностный интеграл с помощью формулы Гаусса и где Sx есть х-компонента вектора Пойнтинга, a G^x — ^-компонента импульса поля. Для временной компоненты подобное вычисление дает выражение
где EM = Uf есть полная энергия поля. Приравнивая (7) и (8) к (5) и (6), находим, что
Интегрирование в последних двух уравнениях дается по времени потоков энергии и импульса через поверхность и, таким образом, зависит от истории системы во все предшествующие моменты времени. Они не могут быть интерпретированы как импульс или энергия электромагнитного поля. Поэтому CM Я Uf — импульс и энергия электромагнитного поля — не являются компонентами четырехмерного вектора и не могут быть отождествлены с импульсом и энергией частицы. Другими словами, полевая масса rrif не может быть отождествлена с механической массой TTim, и классическая теория электромагнитного поля не является масс-унитарной.
Тот результат, что в случае электромагнитного поля компоненты импульса поля G[f) = Gfx, . . ., G[f) = EM = = Uf не образуют четырехмерный вектор, следует также непосредственно из теоремы, которую, согласно Густаву
= і
J dtjSNdo+EU\
(8)
:202 Ми 7, обычно называют теоремой Лауэ. Если Т\п есть тензор энергии-импульса, a dV° — трехмерный объем по отношению к системе отсчета, в которой заряженная частица (электрон), порождающая поле, покоится, то G^ является четырехмерным вектором, если и только если
TrsdV0 = 0 для всех г = S1 за исключением г = s = 4.
Далее, в системе, относительно которой частица покоится, вектор магнитного поля исчезает, плотность полной энергии покоя равна Г44 = (1Is п)Е2 и, как мы знаем из максвелловского тензора напряжений, T011 = (1A п)(Ех —
- 1I2E2). Таким образом, J T^dV0 = (1I8Ti) J E2dV=U\ и \ T°udV° = — 1I3U0 Ф 0. Следовательно, теорема Лауэ
с
неприменима к электромагнитному полю, GiP не есть четырехмерный вектор и условие (4) для масс-унитарных полей не выполняется.
Поэтому любая попытка построить масс-унитарную теорию поля должна начинаться с далеко идущей модификации фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Следует признать, что большинство из таких переформулировок теории Максвелла— Лоренца
7Gustav Mie, Grundlagen einer Theorie der Materie «Annalen der Physik», 40, 7 (1913). Теорема Лауэ может быть доказана при помощи уравнений преобразования для тензора энергии-импульса: T14= i?v2 (T011-T0u) и Tkk= у2 (Т°и-P2^J1), где вследствие сферической симметрии покоящегося поля должны учитываться только диагональные члены. Здесь G^ определяется
с помощью (i/c) ^ Tfik dV. Таким образом, Gk = 0 для к = 1, 2, 3,
a Gl= (i/c) ^ TkkdV = (i/c) EuK Если G^ есть четырехмерный
вектор, то он удовлетворяет уравнениям преобразования G</> = = - i?v^S= (?v/c) ^ T0u dV о и GiP= (iylc) ^ T1J4 dV о. Кроме того,
мы имеем G[f) = (i/c) ^ TikdV = (Y?/c) jj (П* ~ T°n) ^0 и GM = = (iylc) ^ (TJ4 — ?2^?!) вместе с dV = уdV°, Сравнение показывает, что ^ rji dV° = 0.
:203 направлены не столько на масс-унитарный вывод электронной массы, сколько выполнены с несколько иными целями. Они мотивированы желанием преодолеть определенные трудности, касающиеся природы квантовой электродинамики. Современная квантовая электродинамика, развитая Дираком 8, Гейзенбергом и Паули 9, Иорданом и Ферми, основана на понятиях электромагнитного поля и электрон-но-позитронного поля и является как теорией поля, так и теорией элементарных частиц. Состояния квантованного электромагнитного поля ассоциируются с фотонами, а состояния квантованного электронно-позитронного поля — с электронами. На ранней стадии развития этой теории было ясно, что собственная энергия электрона в самом нижнем порядке расчета по теории возмущений оказывается расходящейся величиной 10. И хотя эта расходимость на основании дираковской теории дырок вследствие подавления части собственной энергии вакуума имела только логарифмическую природу — в противоположность линейной расходимости классической собственной энергии,— неизбежное следствие бесконечности массы для элементарной частицы, казалось, делало теорию бесполезной для всех практических целей. Чтобы облегчить разрешение этих трудностей с расходимостью, полагали, что в первую очередь желательно пересмотреть классическую электромагнитную теорию так, чтобы избавиться от этих бесконечностей в классической области, и надеялись на то, что квантование такой модифицированной классической теории приведет затем к последовательной квантовой электродинамике.
