Понятие массы в классической и современной физике - Джеммер М.
Скачать (прямая ссылка):
Проблема, как определить массу (или энергию) динамической системы в общей теории относительности однозначным, ковариантным и физически осмысленным обра-
:212 зом, привлекала внимание Эйнштейна 27, Нордстрема 28, Клейна 29, Вейля 30 и других. В поисках решения казалось естественным обобщить процедуру, принятую в специальной теории относительности. Напомним, что в специальной теории относительности четырехмерный вектор энергии-импульса P (стр. 170), временная компонента которого равна —Etc, удовлетворяет соотношению
P*-E21с* = -т20с2, (16)
где P2 — сумма квадратов пространственных компонент P1 а т0 — инертная собственная масса частицы или рассматриваемой системы. Но соотношение (16) само может трактоваться как определение массы при условии, что члены в левой части уравнения могут быть определены независимо.
Таким образом, возникает вопрос, существует ли в общей теории относительности вектор энергии-импульса для данной динамической системы. Эта проблема в некоторой степени была решена Эйнштейном и Клейном 31. В специальной теории относительности, как мы знаем, законы сохранения энергии и импульса выражаются при помощи лоренц-инвариантного дифференциального уравнения
div T = ^- = O1 (17)
где Tik — тензор полной энергии-импульса системы. Соответствующая формула для общей теории относительности требовала бы, чтобы ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса обращалась в нуль. Обращение в нуль ковариантной дивергенции тензора второго ранга в противоположность дивергенции вектора, подобного вектору плотности тока-заряда в общерелятивистской электроди-
27 А. Эйнштейн, Закон сохранения энергии в общей теории относительности, «Собрание научных трудов», т. 1, стр. 650.
28 G. Nordstrom, On the mass of material system according to the theory of Einstein, «Proceedings of the Koninklijke Akademie van Wettenschappen te Amsterdam», 20, № 7 (1917).
29 F. Klein, Uber die Integralform der Erhaltungssatze und die Theorie der raumlich geschlossenen Welt, «Gottinger Nachrichten» (1918), S. 394—423.
30H. Weyl, Space-time-matter (Methuen, London, 1922), p. 268—273.
31 См. сноски 27 и 29.
:213 намике 32, не влечет, однако, за собой обращения в нуль обычной дивергенции, что необходимо для сохранения. Тем не менее Эйнштейн показал, что законы сохранения могли бы быть записаны в виде
дхк
С Sife =(—g)42(Ti + ti), где (—gVUti, которые Эйнштейн называл компонентами энергии гравитационного поля, построены из gmn и их первых производных.
При помощи обычного применения четырехмерной теоремы Гаусса можно показать, что величины
Pi = -J J Zldx1 dx*dx* (i=l, 2, 3, 4)
постоянны во времени. К тому же Клейн продемонстрировал, что Р\ ведет себя при линейных преобразованиях подобно вектору. Так как в пространстве нулевой кривизны Р[ сводится к Pi специальной теории относительности, естественно определить массу системы по аналогии с уравнением (16) при помощи уравнения
т0 = ±(Р?-Р? -Р'^-Р'ук (18)
Такое определение массы имело бы смысл в общей теории относительности только в том случае, если бы Pi были независимы от выбора системы координат. К сожалению, по отношению к эйнштейновским компонентам энергии
32 Напомним, что для контравариантного вектора <рг
div<pl = ф|4 = -I17r -1.((-*)Vt<pl) = О, предполагая, конечно, что дх1
в то время как для тензора второго ранга уравнение
OTik ь
div Tik - T]l = -^J + T1krTrk 4 TlrT* = О
не влечет за собой
:214 гравитационного поля это не так. Эйнштейну удалось только показать, что Р[ независимы от выбора квазигали-леевых координатных систем, то есть систем, координаты которых на достаточно больших пространственных расстояниях от системы и от четырехмерной области, проходимой ею (ее так называемой «трубки», или «канала»), допускают метрику пространства Минковского.
Ввиду этих трудностей Эддингтон и Кларк 33 в 1938 году допустили, что масса динамической системы должна определяться как «масса M эквивалентной частицы, которая дает тот же самый линейный элемент на больших расстояниях». Точнее говоря, это есть масса системы в рассматриваемый момент, в то время как расстояния должны быть не настолько велики, чтобы вызвать физически значимое временное отставание потенциалов. Кроме того, скорость и ускорение рассматриваемой частицы должны быть равны скорости и ускорению центра масс системы 34.
Ясно, что современное понятие массы гравитирующей механической системы учитывает тот факт, что в соответствии с эквивалентностью массы и энергии любая потенциальная или кинетическая энергия, остающаяся в системе, вносит вклад в ее массу. Действительно, Гиллоч и Мак-Кри Зб, которые использовали это определение в своих расчетах массы вращающегося цилиндра, показали, что эта масса равна собственной массе цилиндра плюс его кинетическая энергия, деленная на с2. В общем случае, однако, масса системы, как указали сами Эддингтон и Кларк 36, равна сумме собственных масс и энергий тел, образующих систему, при условии, если только момент инерции С (относительно центра масс) неускорен. Если TYii — собственные массы системы, а К и V — соответственно кинетическая и потенциальная энергии, то
