Понятие массы в классической и современной физике - Джеммер М.
Скачать (прямая ссылка):
В важной статье «О локализации энергии физической системы в общей теории относительности» 42 Мёллер недавно показал, что если эйнштейновский полный канонический псевдотензор энергии-импульса который может быть выражен так же 43, как дивергенция от
fF = (ЛІт -(20)
(к — эйнштейновская константа уравнений поля, связанная с гравитационной постоянной G уравнением к = = 8 яб/с4), заменить новым псевдотензором энергии-импульса hkJ + где г|№ определяется формулой
^w = AF-+ (21)
и имеет равную нулю дивергенцию, то оба вышеупомянутых недостатка могут быть преодолены. Таким образом, подход Эйнштейна — Клейна к общерелятивистскому определению инертной массы для замкнутой динамической системы через уравнение (18), где Tn0 — инертная масса IUi, снова приобретает значительный интерес.
Из уравнения (21) или (20) можно сделать важный вывод, касающийся отношения между активной гравитационной массой и инертной массой в общей теории относительности, если вернуться для простоты к использованию квазигалилеевых координат.
В случае статической системы, достаточно удаленной от остальной материи Вселенной, метрика имеет вид шварцшильдовской 44:
ds2 - —1-2к/rdr2 - г2 (sin2 9 dV2 + d02) +(I)с2 dt2. (22)
41 Эта составная часть пространственного интеграла не инвариантна полной энергии даже для чисто пространственных преобразований; см. стр. 216.
42 «Annals of Physics» 4, 347—371 (1958).
43Cm., например, JI. Д. Ландау и Е, М. Jl и ф ш и ц, Теория поля, стр. 351.
44 Ibid., р. 336.
:218 В изотропных координатах этот линейный элемент для больших т может быть переписан в виде
ds2= (dx2+dy2 + dz2) + (l~) c*dl\ (23)
так что
^11 = ^22 = ^33= -(!+-тО .^44=1--75-.
а все другие gih обращаются в нуль. Вычисляя {—g)lU с точностью до первого порядка по 1 /г, получим
а все остальные gik обращаются в нуль.
Для статической системы пространственные компоненты Pf1 обращаются в нуль, и, согласно уравнению (18),
EIc2 = Tnh (24)
так как — сР\ = E. Но E, как временная компонента Pi, может также быть вычислена с помощью членов псевдотензора hV в соответствии с общей формулой
Pi = 1 J Zt dx1 dx2 dx* = j J Ai j dz1 dx2 dx3. Для і = 4 получим
(/4') dz1 dx2 dx3, или, применяя теорему Гаусса,
E= - Ї Htjy-1/* doj, (25)
«j
где Y — определитель пространственного метрического тензора yik = gik (і, к = 1, 2, 3), так как все gJ4 для статической системы обращаются в нуль (i = 4); doj — псевдовекторная нормаль к элементу поверхности do сферы S, по которой должно быть выполнено интегрирование в уравнении (25).
Подставляя значения (— g)1/2, giky gih в уравнение (20), мы получим для 7 = 1, 2, 3
:219 Следовательно,
S -?*• •Jy-1^doJ,
и, если радиус сферы увеличивается до бесконечности,
[^ter-] (26)
Напомним теперь, что активная гравитационная масса та была определена (стр. 212) с помощью шварцшильдовской константы к, согласно соотношению к = (G/c2)ma. Подставляя это значение для к в (26) и принимая во внимание, что к = SnGIc*, окончательно получим
E / C2 = Irta- (27)
Сравнив результат с уравнением (24), можно заметить, что благодаря вышеупомянутой процедуре аналогии активная гравитапионная масса тела или динамической системы равна инертной массе также и в общей теории относительности.
На стр. 210 отмечалось, что тождество инертной массы и пассивной гравитационной массы является простым следствием принципа эквивалентности. В свете только что полученного нами результата мы, таким образом, приходим к важному выводу, что общая теория относительности в отличие от классической механики, рассматривает тождество всех трех видов масс как необходимый — а не только случайный — момент своей логической структуры.
В общей теории относительности частица может рассматриваться также как сингулярность в поле gmn. Ограничиваясь в нашем обсуждении случаем пустого пространства, заметим, что вследствие того факта, что уравнения поля Gmn = 0 должны удовлетворяться всюду вне сингу-лярностей, эти последние, то есть четырехмерные мировые линии частиц, не могут быть произвольно специфицированы. Математические ограничения, налагаемые уравнениями поля на сингулярные кривые в четырехмерном пространстве, выражают тот факт, что законы движения в общей теории относительности не представляют собой добавочных условий, которые должны быть увязаны — как в ньютоновской физике — с уравнениями поля, а, скорее,
:220 непосредственно следуют на самих уравнений поля46. Так как понятие массы есть прежде всего и главным образом понятие фактора, определяющего движение, и так как поле является первичной и окончательной величиной, единственным логически и методологически удовлетворительным способом введения понятия массы будет введение его при помощи законов движения, полученных из уравнений поля. Проблема получения законов движения из уравнений поля была решена в 1938 году Эйнштейном, Инфельдом и Гофманом, а упрощенное решение проблемы было опубликовано двумя годами позже Эйнштейном и Инфельдом46. Наконец, логически более простое, но технически более трудное решение, допускающее приближение сколь угодно высокого порядка, было дано Эйнштейном и Инфельдом в 1949 году47. Оно, по-видимому, представляет собой одно из самых глубоких и далеко идущих исследований этого вопроса. Посмотрим, как оно вводит понятие массы в концептуальную структуру своего изложения.
