Пути физики - Дирак П.А.М.
Скачать (прямая ссылка):
какие теоретические идеи побудили физиков задуматься о существовании
монополей, а затем перейду к последним экспериментальным работам, авторы
которых претендуют на открытие монополя.
Будем исходить из волновой функции Шредингера. Релятивистская трактовка
нам не нужна, и можно использовать волновую функцию в обычном трехмерном
пространстве. Тогда волновая функция (некоторой частицы), скажем о|),
зависит от трех координат Xf, х2, х3 и может изменяться со временем:
'И*1, *2. xs; t). (1)
Известно, что если волновая функция нормирована, то в соответствии с
обычной интерпретацией квадрат ее модуля |т|э|2 дает вероятность того,
что частица находится в каком-нибудь определенном месте пространства.
Волновая функция г|з обычно выражается комплексным числом, и ее можно
умножать на фазовый множитель. Он имеет вид exp (iy), где 7 -
действительное число, так что exp (iy) - это число, модуль которого равен
1. Умножая гр на exp (iy), получаем другую волновую функцию
? = exp (iy) Ир, (2)
квадрат модуля которой тот же, что й у г|::
= (3)
поэтому отвечает распределению вероятности, которое определяется функцией
ар.
41
Входящая в формулу (2) величина у не обязательно должна быть числом: она
может быть функцией пространственных координат и даже времени. Поэтому мы
считаем, что v является функцией Хи х2, х3 и, кроме того, функцией
t. Тем не ме-
нее новая функция ? будет отвечать тому же распределению вероятности, что
и т|). Имеем;
?(*!, xs, xt\ 0 = exp[iy(x1, х2, х3-, OJ'I'ta. *2. ха\ t). (4)
Однако, новая функция ? и первоначальная г|) удовлетворяют разным
волновым уравнениям. Вычислив д^1дхг (соответствующее \рг), где г
пробегает значения 1, 2, 3, получим:
оЧЦдх, = exp (iy) (д!дхт + \Kr) t, (5)
где Кг - функция положения:
К г = ду/дхг. (6)
Если гр удовлетворяет волновому уравнению, в которое входит производная
д/дхг от ф, то функция ? будет удовлетворять соответствующему волновому
уравнению, в котором частные производные д/дхг заменены операторами д/дхг
+i/Cr.
Сделаем еще один шаг. Предположим, что у ¦- это функция, которую
математики называют неинтегрируемой. Представьте себе, что у ни в одной
точке не имеет определенного числового значения, но зато при переходе
между двумя соседними точками изменяется на определенную величину. Если
мы будем перемещать точку, то она опишет замкнутую кривую. Величина у при
этом изменяется непрерывно, и в результате ее значение в конце пути, т.
е. при возвращении в исходную точку, может отличаться от первоначального
значения. Таким образом, значение у может измениться при обходе вдоль
замкнутой кривой, поэтому ни в одной точке оно не определено.
Введем теперь такую (неинтегрируемую) величину у в фазовый множитель в
соотношении (4). В результате мы опять получим уравнение, содержащее
операторы, аналогичные операторам в уравнении (5). Но Кг уже не будет
связано с изменением у при переходе между соседними точками, а это
изменение уже нельзя будет записать как градиент скалярной величины, т.
е. тождество (6) перестанет выполняться. Следует рассматривать Кг как
некую более общую величину, такую, чтобы интеграл по петле*
§ Krdx, (7)
* Этот термин, соответствующий буквальному переводу английского слова
"loop", сейчас приходит на смену термину "замкнутая кривая". - Примеч.
пер.
42
не обязательно был бы равен нулю. Таким'образом, мы получаем более общую
физическую теорию, чем та, из которой мы исходим. Однако эта теория не
так уж нова, потому что уравнение очень похоже на уравнение для
электрона, находящегося в электромагнитном поле. Имея в своем
распоряжении теорию электрона в отсутствие поля (это может быть как
классическая, гамильтонова, теория, так и квантовая теория), можно ввести
поле, взяв импульсные переменные рг в отсутствие поля и заменив их
переменными рг + (е/с)Аг:
Pr^Pr+(elc)Ar, (8)
где Аг - потенциалы поля. Тогда если в отсутствие поля я|) удовлетворяет
некоторому волновому уравнению, то в присутствии поля с потенциалами Аг
волновая функция г|) будет удовлетворять соответствующему волновому
уравнению, в котором импульсы рг заменены переменными рг + (е/с)Аг или,
учитывая, что
рг = - vfid/dxr, (9)
произведена замена производных:
д/дхг-+д/дхг + Щг (10)
Таково изменение волнового уравнения, связанное с введением потенциалов
электромагнитного поля Аг. Видно, что оно носит тот же характер, что и
замена
д/дх/ д/дхг + i(elite)Аг, (11)
отвечающая неинтегрируемому фазовому множителю. Эти замены эквивалентны
друг другу, если
Kr = (elhc)Ar (12)
Смысл сказанного состоит в том, что введение неинтегрируемой фазы
эквивалентно введению потенциалов электромагнитного поля при условии, что
Кг и Аг удовлетворяют соотношению (12). Таким образом, мы приходим к
новому представлению о потенциалах электромагнитного поля, но на данном
этапе не получаем новой физической теории. Это просто новая
математическая форма уравнения Шредингера, в которое входят потенциалы
поля, действующего на электрон.
