Пути физики - Дирак П.А.М.
Скачать (прямая ссылка):
поглощение бозона.
У меня нет времени для подробного изложения теории <фермионов. Приведу
лишь ее результаты. Как и прежде, каждый отдельный оператор т| и т]
соответствует фермионному состоянию. Но теперь операторы г| и г|
удовлетворяют коммутационным соотношениям, отличающимся от бозонных:
Т|вГ|й-1_г|ьг1а = 0; (21)
г]ат]6 + цьх\а = 0 (22)
т
Г1ат]ь -)- цьх\а - ЬаЬ. (23)
Уравнения (21) - (23) того же вида, что (18) - (20)
соответственно, только знак минус везде заменен знаком
плюс.
Я считаю, что это совершенно удивительный математический факт.
Неизвестно, что за ним кроется на самом деле, потому что мы имеем дело с
двумя совершенно разными физическими ситуациями. Уравнения (18) - (20)
относятся к частицам, любое число которых может находиться в любом
состоянии. Уравнения (21) - (23) соответствуют частицам, никакие две из
которых не могут находиться в одном и том же состоянии. Физически эти два
случая очень сильно различаются, однако, несмотря на это, между
соответствующими им уравнениями существует тесная параллель.
Положим в уравнении (21) Ь-а, Тогда
(iу*)* = 0 (24)
(суммирование по индексу а отсутствует). Этот результат означает, что два
фермиона не могут испускаться в одно и то же состояние. Попытавшись
осуществить такой переход, мы просто получим, что волновая функция равна
нулю. В случае бозонов уравнение (24) не даст ничего похожего, потому
что, положив в (18) Ь=а, мы придем к тождеству (Г|а)2 = (т]а)2.
Число частиц в любом состоянии для обоих случаев, т. е. и для бозонов, и
для фермионов, дается оператором
па = т]°т]а (25)
(без суммирования по индексу а). Для бозонов, когда iia, т]°
удовлетворяют условиям (18)-(20), собственные значения этого оператора
равны 0, 1, 2, 3 и т. д. Для фермионов, когда выполняются условия (21)-
(23), собственные значе-
32
ния оператора tia равны либо нулю либо единице. Таким образом, число
фермионов в любом состоянии равно либо нулю, если состояние не занято,
либо единице, если состояние занято. В последнем случае состояние
заполнено до предела, так что ни один фермион уже не может в него
попасть.
Мы познакомились с основными динамическими переменными, которые
используются в любой квантовой теории поля. Следует, правда, сделать одно
формальное обобщение. До сих пор мы считали, что различные состояния (как
для бозонов, так и для фермионов) дискретны. Однако на самом деле это не
так. Различные состояния частицы надо рассматривать как собственные
состояния ее импульса. Тогда индекс а, обозначающий конкретное состояние,
заменяется тремя компонентами импульса частицы и значением ее спина (если
у частицы есть спин). В результате всех этих действий символ Кронекера
боЬ в уравнениях (20) и (23) приходится заменять произведением
б(л1-рд8(р2-р1)Ь(ръ-Pi) (26)
(в отсутствие спина), где р[, р'2> р'3 и pi, pi, р"3 представляют собой
компоненты импульса двух состояний. Описанная процедура является всего
лишь формальным обобщением, Которое всегда необходимо делать при переходе
от дискретных квантовых состояний к непрерывному спектру. Но это дает
ответ на вопрос, поставленный в первой части нашей задачи: в терминах
каких динамических переменных надо формулировать квантовую теорию поля?
Теперь следует найти вид гамильтониана. Гамильтониан представляет собой
полную энергию системы и должен быть выбран так, чтобы для системы
получались правильные уравнения движения. Я покажу, как это делается, на
примере свободного поля излучения.
Рассмотрим электромагнитное поле и будем считать, что заряды отсутствуют,
т. е. что мы имеем дело с полем фотонов. Тогда динамическими переменными
могут служить векторы электрического и магнитного полей. Динамические
переменные во всех точках пространства должны задаваться в один и тот же
момент времени. Например, вектор электрического поля берется в
произвольной точке (хи х2, х3 Трехмерного пространства в определенный
момент времени t:
Sr{xb х" х3\ t), r= 1, 2, 3. (27)
Аналогично задается вектор магнитного поля Ж для того же момента времени
t:
3tr{xlt xt, х3\ t), г= 1, 2, 3. (28)
3 № 984
33
Вот те динамические переменные, которые нужны для описания свободного
электромагнитного поля.
Вы, наверное, заметили, что мы несколько отошли от четырехмерной
симметрии, которую хотели бы видеть в релятивистской теории. Это
неизбежно случается при переходе к гамильтонову формализму: приходится
отходить от четырьх-мерной симметрии, и тут ничего не поделаешь, потому
что все динамические переменные заданы в определенный момент времени.
Гамильтониан равен полной энергии; мы берем его в том же виде, что и в
классической теории:
Н gjj. ^ (-^1" х^+ЖЦх* xg)jdx^dx 2 dxg> (29)
Уравнения движения для переменных <В и Ж известны из теории Максвелла:
dS/dt =* rot Ж\ (30)
дЖ/dt^ - rotS. (31)
Есть еще уравнениям
div<? = 0; (32)
div$? = 0, (33)
представляющие собой ограничения, которые надо наложить на переменные $ и
Ж.
Уравнения (30) и (31) показывают, как величины ? и Ж изменяются со
