Пути физики - Дирак П.А.М.
Скачать (прямая ссылка):
и
К. "J+ = 0- (5)
Входящая в (2) величина является четырехстрочной матрицей, состоящей из
одного столбца, каждый из элементов которого зависит от координат хй, хг,
х2, х3. Функция я|) играет здесь ту же роль, что и обычная
однокомпонентная волновая функция в стандартном уравнении Шредингера. С
помощью уравнения (2) удалось релятивистско-инвариантным образом
описать.частицы со спином 1/2, такие, например, как электроны.
При выводе нового уравнения мы предполагаем, что частица не
бесструктурна, как в случае частиц со спином 1/2, подчиняющихся уравнению
(2), а обладает какой-то динамической структурой; это означает, что у нее
есть внутренние степени свободы. *
Пусть новые степени свободы соответствуют некоторым динамическим
переменным qu рг и q2, р2, которые описывают два независимых
гармонических осциллятора. Эти динамические переменные связаны между
собой коммутационными
* Проф. Дирак в своей известной книге '"Принципы квантовой механики"
отмечает, что в случае уравнения (2) матрицы аг и ат "описывают некоторые
новые степени свободы, относящиеся к какому-то-внутреннему движению" и
делает заключение о том, что "они позволяют ввести спин" частицы. Этот
вывод следует из того, что матрицы аг и ат не зависят от координат х0,
хг, "так что они коммутируют" с импульсами и координатами.-Примеч.
редактора английского издания.
55
•соотношениями:
(Mi = [<7i, <72]- = [Pi. Рг]- = 0; 'j [<7i. Pi]- - [<7s> Pa]- = i'. \
(6)
[<7i. = Pi]- = °- )
Выражения (6) можно записать в чрезвычайно удобном виде, если ввести
определение:
<73 = Pl> ?4=/>2 (?)
т построить матрицу р размера 4x4, такую, что
ЧаЯь-ЧьЧа^1Ча, <7 b] - = 1 РСЬ • (8)
где
a, 6 = 1, 2, 3, 4. (9)
С учетом соотношений (7) и определения (8) матрица Р должна иметь вид:
/О 0 1 0\
р=(-? S8o)- (10>
\ 0-10 0/
-Матрица Р полностью антисимметрична, а ее квадрат рйвен •единичной
матрице, взятой с отрицательйым знаком:
Ра6=-Рь". Р2=-1. (11)
Введенному нами требованию о том, чтобы новым степеням свободы
соответствовали динамические переменные двух независимых гармонических
осцилляторов, можно придать более строгий вид. Волновая функция частицы
if) в дополнение к тому,-что она является функцией координат х0, Хц х2,
х3 этой частицы, должна еще зависеть от двух независимых, т. е.
коммутирующих, переменных qa (а = 1,2, 3, 4). Существуют следующие пары
коммутирующих переменных qaг
(9i> 9г)> ^4)" (?1, 94) и (q2, qs)'
Выберем одну из этих пар, скажем (qit q2), и потребуем, чтобы волновая
функция характеризовалась следующей функциональной зависимостью:
Ф 'И*", хи х2, хя, qq2), (12)
Из qa и волновой функции г|) можно построить четырехстроч-яую матрицу-
столбец
(13)
•56
где
Я
(14)
С помощью тех же рассуждений, которые использовались при выводе уравнения
(2), новое уравнение можно записать в виде
где коэффициенты ar (г- 1, 2, 3) опять представляют собой матрицы размера
4x4, выбранные так, чтобы они коммутировали друг с другом и с матрицей
|3:
В наших обозначениях [a, b]+- ab + Ьа. Кроме того, мы требуем, чтобы
квадрат каждой матрицы аг был равен единичной матрице
Матрица (3 в новом уравнении (15) -та же самая матрица, что и (3 в
уравнении (10). Мы получили тесную связьмежду матрицами и новыми
степенями свободы [см.' уравнение (8)]. По своему виду новое уравнение
(15) явно очень похоже на старое [уравнение (2)}. Все различия между ними
вызваны тем, что новое уравнение связано с новыми степенями свободы. Из-
за этого q\J) существенно отличается от функции \|э, входящей в уравнение
(2). Матрица {5 тоже непосредственно связана ¦ с коммутационными
соотношениями - между переменными, которые определяют новые степени
свободы.
Наложим теперь на матрицы а дополнительные ограничения, которые нам будут
полезны в дальнейшем. Предположим, что матрицы а действительны и
симметричны (а следовательно, эрмитовы). Конечно, существует немало
способов удовлетворить этим требованиям в дополнение к условиям (16) и
(17). Возьмем для примера следующий.набор матрица,.:
{д/дх0 + агд/дхг + Р} = 0,
(15)
(16)
а\ = а| = а\ = 1.
(17)
-10 0 0 0 10 0
0 0-10 0 0 0 1
•0 001 00 10
01 00 0 0-1 о • 08)
10 0 0 0 1 0 0
1000
.0 0 0-1
5 № 984
57
Подставив этот набор в уравнение (15) и заметив, что
(19)
получим следующую систему из четырех уравнений-:
В представлении, которым мы пользуемся для двух осцилляторов, <7хгр и
q?\> интерпретируются как числа, полученные умножением Ц; на числа <71 и
q2, а <731(3 и q$ имеют вид:
<7з^ = - i (d/d<b) ЧЛ = - i (d/dq2) f.
Как явствует из системы (20), уравнение (15) на самом деле представляет
собой четыре уравнения для одной и той же функции г|). Следовательно, для
одного неизвестного у нас есть целых четыре уравнения. Тогда встает
вопрос об их совместности. Прежде всего, не все четыре уравнения
независимы. Это становится очевидным, если записать сумму: q2, умноженное
на (20 а), плюс - qu умноженное на (20 б), плюс -qit умноженное на (20
в), плюс q3, умноженное на (20 г). Тогда, учитывая коммутационные
