Пути физики - Дирак П.А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим полное изменение фазы, т. е. полное изменение 7, при обходе по
петле L:
(A y)L = §Krdxr (13)
L
43
Отождествив Кг с (e!fic)Ar [в соответствии с (12)], получим ^y)L='f
Ardxr.
tic L
Теперь мы можем воспользоваться теоремой Стокса, которая позволяет любой
интеграл по петле выразить через поверхностный интеграл, взятый по
натянутой на эту петлю поверхности Q. Получаем:
(Ayk-Mj(rotA)-dS (14)
С Q
И
'15>
Q
где Ж - вектор магнитного поля. Итак, мы пришли к соотношению, согласно
которому е!%с, умноженное на магнитный поток через петлю, равно полному
изменению у при обходе вдоль петли.
Теперь нам придется ввести в уравнение (15) новое слагаемое: необходимо
учесть, что если у рассматривается как фаза волновой функции, то эта фаза
будет не определена в том смысле, что к ней можно прибавить любое число,
кратное 2л. В самом деле, если в (2) у заменить величиной у + 2л, то
уравнение совсем не изменится. Обратившись к только что выведенному
уравнению (15), мы увидим, что левая часть действительно не определена в
том смысле, что к ней можно прибавить любое число, кратное 2л.
Следовательно, уравнение в том виде, в котором оно написано, не может
быть полным и определенным: его левая часть неоднозначна, а правая
полностью определена. Таким образом, выражая потенциалы электромагнитного
поля через веинтегрируемый фазовой множитель, мы должны изменить
уравнение (15), переписав его в виде
(Ay)L + 2nn = j-J§S?'dS, (16)
о
где п - положительное или отрицательное целое число.
Итак, если мы возьмем любую петлю, то сумма изменения у при обходе вдоль
этой петли и любого числа, кратного 2л, равна е!%с, умноженному на
магнитный поток через петлю.
Хочу обратить ваше внимание на то, что хоть я рассматривал всего лишь
один частный случай волновой функции, такой же неинтегрируемый фазовый
множитель должен входить в любую другую волновую функцию. Так должно
быть, чтобы
44
выполнялся принцип суперпозиции. Волновую функцию можно получить, взяв
сумму двух других, поэтому, умножив одну из этих волновых функций на
фазовый множитель exp (гу)" необходимо умножить на него и остальные
волновые функции, чтобы не нарушить принцип суперпозиции.
Вернемся к уравнению (16) и воспользуемся соображениями непрерывности.
Возьмем сначала малую петлю. При ее обходе изменение у будет совсем
небольшим, потому что при переходе от одной точки к другой у меняется не
сильно и, значит, не может претерпеть очень сильные изменения при обходе
вдоль малой петли..Аналогично, магнитный поток, проходящий через такую
петлю, при нормальных физических условиях будет небольшим. Поскольку п
должно быть целым числом, можно заключить, что если обе величины (&y)L и
малы, то п-0. Таким образом, из условий непрерывности следует, что п
должно равняться нулю.
Существует, однако, исключение. Я сказал, что при обходе по малой петле
изменение у должно быть мало, но при определенных условиях это требование
не выполняется. Если г|з=0, то у совсем не определено, и если я]з близко
к нулю, то небольшим изменениям я|з может отвечать весьма значительное
изменение V- Рассмотрим пример двумерной волновой функции
tyrsjCi-j-bCa* (17)
Функция г)? обращается в нуль, если хг и л;2 равны нулю. В
окрестности^нуля эта функция абсолютно непрерывна. При обходе по малой
петле, внутри которой расположено начало координат х1=х2=0, фаза г[з
меняется на 2я.
Нас интересуют области, где if обращается в нуль. Если т|э=0, то
требуется выполнение двух условий, и обычно какая-нибудь одна линия этим
условиям удовлетворяет. Назовем ее линией узлов. Таким образом,
существуют Алинии узлов, на которых ij) обращается в нуль, и если задать
небольшую петлю вокруг узлов, то при обходе по этой петле изменение г|э
не обязательно должно быть малым. Оно может равняться 2я или любому
целому числу, кратному 2п, несмотря даже на то, что функция яр абсолютно
непрерывна. Это видно из предыдущего примера, если в качестве г[) взять
выражение (17). Отсюда можно заключить, что в уравнении (16) п=0 для
любой малой петли, если она не охватывает линию узлов.
Перейдем теперь к большим петлям и применим к какой-нибудь из них
изложенный формализм. Мы увидим, что число e/fic, умноженное на магнитный
поток через большую петлю, будет равно сумме изменения у при ее обходе и
члена вида 2яп, который составлен из вкладов каждой линии узлов, про-
45
ходящей через петлю. Эта большая петля будет вырезать некоторую
поверхность, и каждая линия узлов, пересекающая ее, будет давать вклад
вида 2пп.
Применим теперь формулу (16) к какой-нибудь замкнутой поверхности. Линии,
которая бы ограничивала такую поверхность, не существует, поэтому,
применив к ней (16), мы получим, что изменение у вдоль граничной кривой
равно нулю, ибо сама эта кривая сжалась в точку. В результате найдем, что
произведение е!%с на магнитный поток, который пересекает (замкнутую)
поверхность, равно сумме членов вида 2лп, каждый из которых соответствует
