Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*) Функция (9.26) может быть не ортогональна к собственным функциям
нижележащих дискретных уровней. При доказательстве интересующей нас
сейчас теоремы о существовании дискретных уровней это, разумеется, не
играет роли, ибо уровень, описываемый функцией фу, можно рассматривать
как основной. Действительно, обратное предположение означало бы, что
какие-то дискретные уровни заведомо существуют, и дальнейшие рассуждения
стали бы беспредметны. Однако попытка вычислять таким путем плотность
состояний и общее число дискретных уровней была бы не оправдана.
106 гл. П. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Ряд 52(г) дается формулой (7.41) при
1 г>7/2 3/2
С=2уГ> 2 = 2 пу у.
В силу (7.41') интеграл в (9.21") сходится. По определению коэффициентов
сп он не может превышать 1/2. С другой стороны, будучи функцией многих
независимых параметров, он не может и равняться 1 /2 тождественно. Отсюда
следует, что в условиях (7.41) и (7.41') вероятность Qb оказывается
конечной.
в) Лоренцево поле. Заранее очевидно, что в случайных полях такого типа
вероятность возникновения достаточно больших флуктуаций потенциальной
энергии носителя заряда не меньше, чем в случаях а) и б); соответственно
следует ожидать, что и здесь вероятность Qb окажется конечной. И
действительно, пользуясь формулами (7.47) и (7.48), мы получаем из (9.21)
оо
+ sin ^Vmin - a) ds> (9-31)
0
где
x = [J tfk|B(k)|2/?(k)]1/2. (9.32)
Интеграл в правой части (9.31) легко вычисляется (см. Приложение VI), и
мы получаем (при vmin -< 0)
Qb > | Г1 ~ > °- <9-21'")
2 L V(a + I Vm I ) + Xs J
Легко убедиться, что неравенства (9.21') - (9.21'") не связаны со
специфическим видом вспомогательного закона дисперсии (9.2). Последний,
согласно (9.23), влияет лишь на величину константы а. Иначе говоря, вид
закона дисперсии, отвечающего вспомогательной задаче с чисто
периодическим полем, может влиять на число дискретных уровней и на их
распределение по энергии, но не на сам факт их существования.
Итак, вероятность возникновения дискретных флуктуацион-ных уровней в
случайных полях всех трех рассмотренных нами типов оказывается конечной.
Причина этого очевидна: в этих полях отличны от нуля (хотя, может быть, и
невелики) вероятности образования достаточно глубоких *) и широких
флуктуа-
*) Разумеется, слова "достаточно глубоких" имеют здесь лишь формальный
математический смысл. Фактически, в силу условий применимости данных
моделей, мы не имеем права рассматривать уровни с энергиями ионизации
порядка ширины запрещенной зоны. Весьма часто, однако, последняя
значительно превосходит все другие характерные энергии электронов (в том
числе и ф1/2), что и оправдывает наши рассуждения.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
107
ционных ям. В принципе, разумеетея, возможны и другие типы случайных
полей. Так, могло бы оказаться, что возможные значения функции С/(г)
ограничены по модулю величиной, сравнимой с характерной энергией
электронов (или даже меньшей ее). Тогда флуктуационные ямы нужной глубины
могут и не возникнуть. Формально это проявляется в том, что аргумент
ступенчатой функции в формуле (9.17) не сможет оказаться положительным.
Исследование ограничений такого типа, однако, требует конкретизации
рассматриваемой модели случайного поля. В системах, указанных в пунктах
1)-4), 7) и 8) § I. 1, они, по-видимому, не имеют места.
Обратимся теперь к вопросу о возможности локализации двух электронов в
одной и той же флуктуационной потенциальной яме. При этом, очевидно,
необходимо явно учитывать куло-новское взаимодействие между двумя данными
электронами. С другой стороны, влияние всех остальных носителей заряда,
как и при рассмотрении "одноэлектронных" уровней, может проявиться лишь в
экранировании силовых полей. При этом мы примем во внимание и возможное в
принципе экранирование взаимодействия двух локализованных электронов друг
с другом. Действительно, размеры области локализации могут оказаться
довольно большими.
Как мы увидим, явный вид потенциальной энергии экранированного
взаимодействия двух электронов Vc оказывается не очень существенным. По
этой причине мы ограничимся простейшим выражением:
<мз>
Здесь е - статическая диэлектрическая проницаемость материала, которая
наблюдалась бы в отсутствие свободных носителей заряда*), п и г2 -
радиус-векторы двух рассматриваемых электронов, г0 - радиус
экранирования. Явное выражение для него зависит от механизма
экранирования. Для дальнейшего, однако, оно не очень существенно:
достаточно рассматривать г0 просто как феноменологический параметр.
Таким образом, мы приходим к двухэлектронной задаче с гамильтонианом
H = Ti + T2+Vc (г, - г2) + U (гО + U (г2). (9.34)
*) Строго говоря, отождествление 8 со статической диэлектрической
проницаемостью полностью оправдано лишь в случае гомеополярного
материала. При наличии заметной доли ионной связи так можно поступать,
лишь рассматривая самые мелкие уровни. Именно, энергия ионизации Е,
должна удовлетворять условию ?;/Д (Оо, где шо - характерная частота
