Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11. Радиус локализации. Степенная локализация
Радиус локализации у-1 зависит от энергии ионизации рассматриваемого
уровня Е. Вид этой зависимости нетрудно установить для сравнительно
глубоких флуктуационных ям. Действительно, здесь (рис. 6) можно выделить
область пространства, в которой max| U(r, 0, qp) | <С Е и, следовательно,
волно-
10. ф)
вая функция имеет известный из квантовой механики асимптотический вид:
ф~ехр( - г). (11.1)
При этом, очевидно,
у-1 = й/л/2тД. (11.2)
При уменьшении энергии ионизации, во-первых, в соответствии с (11.2),
растет радиус локализации и, во-вторых, возра-
114 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
стает вероятность возникновения соответствующих флуктуаций потенциальной
энергии, т. е. уменьшается среднее расстояние между ямами сравнимой
глубины. В силу обеих этих причин размеры асимптотической области
сужаются, и при достаточно малых значениях 2F она исчезает вовсе. Формулы
(11.1) и (11.2) при этом уже не имеют места, и, более того, лишается
смысла сама постановка задачи о поведении волновой функции вдали от
центра данной потенциальной ямы. Действительно, в рассматриваемых
условиях слова "далеко от данной ямы" означают вместе с тем и "близко к
другой, почти такой же". Мы
Рис. 6. К асимптотике волновых функций дискретного спектра. В части
пространства, обозначенной как "асимптотическая область", справедливо
выражение (11.1).
можем, однако, сохранить представление о радиусе локализации у1 как о
характерном линейном размере области пространства, в пределах которой в
основном сосредоточена волновая функция. Точное определение слов
"характерный линейный размер" для наших целей несущественно (это может
быть, например, квантовомеханическое среднее значение расстояния между
электроном и центром локализации). Физический интерес здесь представляет
вид функции у (Е) для существенных конфигураций случайного поля.
Рассматривая гауссово случайное поле с бинарной функцией корреляции
(7.37в), можно угадать ответ при В-*-0 с помощью соображений размерности.
Надо лишь принять во внимание, что в него должна войти статистическая
характеристика поля - величина Ф0. Действительно, мы имеем здесь два
независимых параметра размерности длины: yf1 =
-hl'^2mE и у^1 = Фд/3Д-2/3. Следовательно, можем написать
У-'(Д) = y2-7(y2/y,), (П.З)
где f - некоторая непрерывная функция. По физическим соображениям
величина Ф0 должна входить в у-1 в неотрицательной степени. Для этого
достаточно, чтобы функция / имела конечный предел при стремлении ее
аргумента к нулю. Оценка сверху для
§ 11. РАДИУС ЛОКАЛИЗАЦИИ. СТЕПЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
115
радиуса локализации получится, если обеспечить наиболее быстрое его
возрастание при Е->0. Поскольку при этом 72/71 ->-0, следует положить
f(0)=/=0. Таким образом, при ?->0
Y_1 (Е)const Фо/3?~2/3. (i 1.4)
Этот результат был указан К- Фридом (1972) и Р. А. Абрамом и С. Ф.
Эдвардсом (1972). Провести аналогичное рассуждение, заменив в (11.3) у2-1
на yf1, невозможно, ибо в ответ не вошла бы величина Ф0.
Известный интерес представляет задача об асимптотике волновых функций
неслучайных (в смысле § 2) дефектов структуры. Для достаточно глубоких
уровней, разумеется, справедливо выражение (11.1). Однако есть случай (В.
J1. Бонч-Бруевич, 1976), когда вместо экспоненциальной асимптотики
оказывается справедливым выражение вида
Ф ~ ф)- (11.5)
Здесь п - число (такое, чтобы функция (11.5) удовлетворяла условиям
нормировки), % - произвольная квадратично интегрируемая функция полярных
углов 0, ф. При этом говорят о степенной локализации*).
Асимптотика вида (11.5) имеет место, если потенциальная энергия в
уравнении Шредингера на больших расстояниях от центра локализации имеет
вид (мы пользуемся обозначением v, дабы избежать смешения со случайной
функцией U(г))
v-Щ^. (11.6)
Здесь Д0, ф) - произвольная регулярная функция, удовлетворяющая лишь
указанному ниже ограничению.
В справедливости сказанного легко убедиться непосредственной проверкой:
надо лишь подставить выражения (11.5) и (11.6) в уравнение Шредингера
(9.3) (с заменой U на и). При этом число п неявно выражается через
функцию с(0, ф), что и ограничивает ее условием нормируемости волновой
функции (11.5).
В частности, выражение (11.6) может описывать потенциальную энергию
электрона в поле электрического диполя или в поле упругих напряжений,
создаваемых точечным дефектом структуры.
*) Сама возможность степенной локализации решений уравнения Шредингера
хорошо известна [33, 34]. Из формул (11.5) и (11.6) вытекает, однако, что
она более реалистична, чем можно было бы подумать. Некоторые результаты,
видимо, указывающие на возможность степенной локализации электронов в
неупорядоченных полупроводниках, были численным методом получены В. Дж.
Ластом и Д. Дж. Таулесом (1974).
116 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Энергия ионизации состояния с асимптотикой (11.5) оказывается равной
нулю. Очевидно, такая ситуация неустойчива: сколь угодно близко от
