Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
рассуждений, однако, от этого не меняется.
100 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
кализации (§ 1.6). Поскольку указанное вырождение в рассматриваемой
задаче не снимается, мы можем просто выбрать значения этих координат по
произволу. Для определенности поместим центр локализации в начало
координат; тем самым приобретают смысл и понятия "достаточно большое
расстояние", "на бесконечности" и т. п.
Введем в уравнении (9.3) сферические координаты г, 0, ср, обозначив через
Vg. ф лапласиан по угловым переменным. (Направление полярной оси здесь и
в дальнейшем в этой главе может быть выбрано произвольно.) Получим
-Ш[f &-?) + Тг'.*] + U<'¦ "¦ ¦'"¦Е+' <М'>
Обозначим через у-1 радиус локализации электрона, занимающего
предполагаемый дискретный уровень (если последний действительно
существует, то величина у должна оказаться вещественной)*). По
определению (см. конец § 1) при достаточно большом объеме системы П
величина у не зависит от Q, т. е., в частности,
(уй1/3)-1 -> 0 при Q-*oo. (9.4)
Положим
6> ф), (9.5)
где f - новая неизвестная функция. Подставляя (9.5) в (9.3'), получаем
I __?Л f_i_Avlri _
2т V. уг)' т \ у г ) у дг
<9-6>
Как и в § 2, обозначим через /0 характерный линейный размер
области локализации в смысле, указанном в § 2. По определе-
нию /о удовлетворяет неравенству
у/о > 1 • (9.7)
При г - Iо уравнение (9.6) можно переписать в виде
-t+ftut-ftt-W- ад
Здесь через А [/] обозначено выражение, конечное при у/0->оо; явный вид
его ясен из сопоставления (9.8) и (9.6).
*) Естественно, у зависит от энергии рассматриваемого состояния.
Подробнее см. ниже, § 11.
5 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 101
Разложим / в ряд по шаровым функциям Y? (0, ф):
/(/о. е,Ф)=Е ? *Т(0, ф)с/В1(а>), (9.9)
0 m = - /
и будем в дальнейшем для краткости обозначать совокупность чисел (/,
т) одним индексом п (так, Yf = и т. д.). Подставляя (9.9) в
(9.8), получим систему уравнений для коэф-
фициентов Cim Е= сп:
(i + W-b-^7-(9.10)
tl'
Здесь через А обозначен результат подстановки (9.9) в выражение для А,
величины суть элементы эрмитовой ма-
трицы
2л Л
Unn' (А>) = S dq> 5 sin 0 dQYl' (0, ф) и (/", 0, ф) Yn (0, ф).
(9.11)
о о
Коэффициенты сп можно нормировать условием ?[с"|2=1.
tl
Умножая равенство (9.10) на с* и суммируя результат по п, получаем, с
учетом (9.11),
1+-Р7-!f + (9.12)
где С - величина, остающаяся ограниченной при у/0->0. Обозначим через
v(/o) низшее собственное значение матрицы ипп'(1о)- Очевидно,
tl* tl
Следовательно,
^+E>v(" + ^. (9.14)
Знак равенства реализуется, если коэффициенты сп образуют собственный
вектор матрицы Unn> (/0), принадлежащий низшему собственному значению
v(/o). При у/0->оо вторым слагаемым в правой части (9.14) можно
пренебречь. Удобнее, однако, сохранить пока конечные значения у/0, ибо
понимаемый буквально предел матрицы (9.11) при 1й-+оо может и не
существовать: в любой точке пространства случайный потенциал может иметь
существенную особенность, с подавляющей вероятностью оставаясь при этом
конечным в силу (7.53а) - (7.53в). Иначе говоря, с подавляющей
вероятностью случайный потенциал осциллирует
102
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
(на бесконечности). Предельный переход у/0->оо мы совершим лишь в
дальнейшем, при усреднении по случайному полю, когда это действительно
возможно.
Важно заметить также, что условие у/0-"-оо еще не означает перехода к
рассмотрению всего образца. Согласно § 2, область с линейными размерами
порядка 10, будучи велика по сравнению с областью локализации электрона,
не обязательно должна быть макроскопически велика. Мы будем иметь в виду
условие /'oQ-1 < 1. Иначе говоря, в дальнейшем будут выполнены два
предельных перехода:
yl0->-oo, Qlo3->-oo. (9.15)
Первый из них мы будем называть "предельным переходом в смысле (9.7)". Он
нужен для установления однозначной связи между у и v(/0). Второй
предельный переход - термодинамический. Он подразумевается при вычислении
средних по случайному полю.
Поскольку радиус локализации у-1, очевидно, зависит от энергии ионизации,
возрастая с ее уменьшением, указанное выше разграничение первой и второй
шкал длины может оказаться несостоятельным, коль скоро речь идет о крайне
мелких уровнях, "поджатых" к границе зоны проводимости (или, для дырок, к
границе валентной зоны). В задаче, нас сейчас интересующей, это
несущественно, ибо между "очень малой" и "слишком большой" энергией
ионизации (когда уже нельзя пользоваться методом эффективной массы)
имеется достаточно широкий интервал. Однако сам вопрос о зависимости
величины у-1 от энергии ионизации заслуживает внимания. Мы вернемся к
нему в § 11.
Согласно (9.14) (со знаком равенства) значения у могут быть
вещественными, лишь если *)
v (/") - Е + С/у/о > 0. (9.16)
С другой стороны, если какое-нибудь собственное значение уравнения (9.3)
удовлетворяет неравенству (9.16), то ему принадлежит собственная функция,
локализованная в пространстве. Иначе говоря, такое собственное значение
