Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
относится к дискретному спектру. При этом, в силу отмеченного выше
вырождения по центрам локализации, число дискретных уровней, если они
вообще существуют, будет пропорционально объему системы й. Позднее (§ 10)
мы явно убедимся в этом.
Итак, вопрос о вероятности существования дискретных флуктуационных
уровней сводится к вопросу о вероятности реализа-
*) В случае центрального поля, обращающегося в нуль на бесконечности,
неравенство (9.16) принимает хорошо известный вид: Е < 0.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
/03
ции неравенства (9.16) в данном случайном поле. Эта вероятность Qb дается
выражением (сравните с (7.49))
Q6 = <e[v(/0)-? + C/Y/o]>, (9.17)
где 0 есть ступенчатая функция.
Вычисление правой части (9.17) затруднено тем, что величина v(/o)
представляет собой функционал от U(г), и притом функционал неизвестного
вида. Очевидно, однако, что мы лишь уменьшим значение Qb, заменяя v
меньшей величиной. В качестве таковой удобно взять наименьшее значение
v(/0) для всех возможных конфигураций случайного поля на сфере радиуса
/0:
Vmin = min {v (/о)}. (9.18)
(У)
При этом в силу (7.53а) - (7.53в) с подавляющей вероятностью
| Vmin | < ОО.
Заметим, что в силу (9.15) величина vmin отнюдь не обязана совпадать с
абсолютным минимумом v во всем образце: на поверхности сферы радиуса /0
"самоусреднение" еще не происходит. Вместе с тем, выполняя усреднение по
"области локализации", мы должны считать Vmin заданной величиной.
Таким образом,
Qb > <0 Kin - В + С/у/0]>. (9. 1 Г)
При этом мы вправе считать, что vmin < 0. В противном случае правую часть
(9.17') можно было бы еще больше упростить, заменяя там vmm нулем.
Собственное значение Е также, очевидно, представляет собой функционал от
U(г). Как известно из квантовой механики,
? = (ф, Гф + ?/ф), (9.19)
где ф есть точная собственная функция уравнения (9.3), принадлежащая
данному собственному значению Е, а круглые скобки обозначают скалярное
произведение:
(ф, Гф + Пф) = ^ dr ф* (г) (Т + U) ф (г).
Поскольку ф = ф[?7], вычисление правой части (9.17') с учетом
(9.19) неудобно. Мы можем, однако, мажорировать Е, воспользовавшись
вариационным принципом квантовой механики. Согласно последнему правая
часть (9.19) может только увеличиться, если заменить там собственную
функцию ф произвольной функцией класса Ь2 (нормированной, как и ф, на
единицу). Обозначим такую функцию через фу, понимая под у
параметр
или совокупность параметров, от которых она может зависеть.
Тогда
?<(фу, Гфу + {/фу),
(9.20)
104 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
причем знак равенства достигается только при фу = ф. Таким образом,
Qb > (0 [vmin + ^ - ('Фу" т% + ?/фу)]). (9.17")
Поскольку вид функции фу может быть навязан a priori, случайная величина
U входит в (9.17") только явно. Это позволяет без труда вычислить
фигурирующее там среднее значение. Действительно, пользуясь интегральным
представлением (7.50'), мы можем переписать соотношение (9.17") в виде
оо
<Ь>4й \ (9-21)
- 00
где
а - (Фу, ?Фу). МН] = (фу, Пфу). (9.22)
В выражении (9.21) уже можно выполнить формальный предельный переход
yl0^oo. Квантовомеханические средние значения а и b удобно вычислять,
подставляя U (г) и фу в виде разложений Фурье типа (7.1). При этом
а = ( с?к Г (к) | фу (к) |2, b[U]= Crfkt/(k)?(k),
(9 23)
В(к)=^к'ф;(к')Фу(к'-к).
Задача свелась, таким образом, к вычислению интегралов от
характеристического функционала Л(кВ). Это вычисление удобно выполнять по
отдельности для случая гауссова поля, поля общего вида (с
характеристическим функционалом (7.34')) и лоренцева поля.
а) Гауссово поле. Пользуясь формулой (7.20), мы получаем ИЗ (9.21)
(при Vmin < 0)
Qb>j( 1-erfrn), (9.21')
где
o + Kninl, (9.24)
6 = [у ^ dk *Р (к) | В (k) I2]*'2, (9.25)
a erf r|i - интеграл ошибок:
Til
erfth = -jLr ^ e~pdt. v n J
0
$ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
105
" _____ " у 1*т -Г | Vmin I V__ (Q oo\
Ф г j- -i 1/2 • (9.28)
l[^qT(2Y7) (1 + <72) '
Принимая во внимание выражение (9.5) для волновой функции связанного
состояния, возьмем пробную функцию фу (к) в виде *)
(9.26)
При этом
Е - vmin = - h2y2/2m, а = h2y2/2m, В = (1 + k2/4y2)~2 (9.27)
и, следовательно,
ft2y1/2/2m + 1 Vmin 1 V~3/2
jl/2
В силу (7.44') знаменатель дроби (9.28) при достаточно малых (но
конечных) значениях у пропорционален [? (к)]1/2|4=0. Видим, что величина
гц, а с ней и вероятность Qb, оказывается конечной.
б) Поле общего вида. Пользуясь формулой (7.34'), мы получаем
оо
е'(Vmln_a)s_5's' Z № (9-29)
- оо П^О
где
5 = [у^кФ(к)В(к)В(-к)]1/2, (9.30)
величины а и В по-прежнему даются выражениями (9.23), а функция F
получается из выражения (7.39) заменой 2-*-s, /(k)-fi(k).
Возьмем функцию фу в прежнем виде (9.26) и ограничимся
случаем достаточно малых у, когда функции <Pi(2yqi 2yq/)
можно аппроксимировать их значениями в нуле, Ф;(0, ..., 0). Произведя в
(9.29) замену переменных bs - у и принимая во внимание равенства (9.27) и
(7.41), мы получим
оо
"•>1-57 I f (9.210
