Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
введя под знак интеграла
ступенчатую функцию 0[-П(г)]. г Тогда (с учетом (7.50'))
argl-tM
argHh-x W = (19-2)
arg(-t)=jr где
Рис. 5. Контур интегрирования в формуле (10.4).
- ОО
(10.3)
Для вычисления фигурирующего здесь среднего значения удобно
воспользоваться известным интегральным представлением гамма-функции
Эйлера [32]:
7/5)"= 2я ^ 6 dt'
L
Интеграл берется здесь по контуру, изображенному на рис. 5. Совершая в
(10.4) очевидную замену переменных t^>-tU{г) (при П(г)<0), мы получаем
[- U (г)]3/2 = ± Г (5/2) J (- ()~512 etu (r) di (10.5)
L
и, следовательно,
оо
В' = Т5Г S A(z-e'")dt, (10.6)
-оо L,
где A(z-eikr) есть характеристический функционал (7.8) при z = s -f- It,
I = eikT.
В макроскопически однородной системе этот функционал фактически не
зависит от координат. Следовательно, интеграл по г в формуле (10.2) будет
равен просто объему системы Q: как и следовало ожидать, полное число
флуктуационных уров-
§10*. ОЦЕНКА КОНЦЕНТРАЦИИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ УРОВНЕЙ Ш
ней оказывается пропорциональным ?2, что и позволяет ввести
представление о полной (при всех энергиях) их концентрации
<vi>/?2.
Положим
ОО
A (s • e'kr) = A (s) = ^ eivsA(v)dv. (10.7)
- оо
Очевидно, A (v) есть вероятность того, что U (г) = v. Получим
оо
? = тдП'далМ*'- <10-8>
0
В частности, в гауссовом поле формула (7.20) дает
\ ... руп
AW-"P(-^). ЛМ = ^р, (ш.9)
(v,) Г (5/4)
и, следовательно,
"3/2,h3/49I/4
(10.10)
й Зя5/2й3
Введем "эффективную температуру" Т*, представляя правую часть (ШЛО) в
виде, привычном в обычной статистике полупроводников [3]:
= О"-")
Сравнивая равенства (lO.lI) и (10.10), получаем
Г" 0,3ф'/2. (10.12)
Положим для оценки а|з|/2~0,05 эВ. Тогда Т* соответствует 160 К и
ТГ * НгГ 10'* см-*. (10.13)
Несмотря на ориентировочный характер этой оценки, видно, что концентрация
флуктуационных уровней в полупроводниках со случайным полем может
оказаться весьма большой. Это обстоятельство, видимо, может служить одной
из причин отмечавшейся в гл. I малой чувствительности положения уровня
Ферми в ряде неупорядоченных полупроводников к легированию посторонними
примесями. Действительно, в рассматриваемых условиях уровень Ферми может
быть фиксирован самими флуктуацион-ными уровнями.
Обратимся теперь к двухэлектронным связанным состояниям. При этом мы не
будем принимать во внимание возмо>ц-
112 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
ные силы притяжения, рассматривая лишь связанные состояния, возникающие в
достаточно глубоких флуктуационных потенциальных ямах несмотря на наличие
кулоновского отталкивания. Число таких состояний можно оценить тем же
путем, что и vj, - с одним лишь уточнением. Дело в том, что, рассуждая
квазиклассическим путем, мы должны принять специальные меры, дабы
отделить истинно двухэлектронные состояния от пар одноэлектронных.
Напомним в связи с этим, что, согласно сказанному в § 9, в
двухэлектронном состоянии оба электрона находятся, в основном, в одной и
той же области с линейными размерами порядка радиуса локализации. С
другой стороны, говоря о паре одноэлектронных уровней, мы имеем в виду
состояние, в котором электроны локализованы каждый у своего центра,
причем расстояние между центрами превышает радиус локализации. Отсюда
явствует, что простейший, хотя и грубый, способ выделить двухэлектронные
состояния состоит в том, чтобы ограничить область интегрирования по
координатам электронов п и Гг, полагая
т = |г, - r2 i лг0. (10.14)
Здесь х0 - длина порядка радиуса локализации.
Введем следующие обозначения:
b=Vc{\b-v2\)\r=Xa> (10.15)
00
A [s (eikr> + е'кГг)] s= A (s, г) = ^ dvelvsF (v, г). (10.16)
- оо
Тогда
Х4
(Ю.17)
О
где
оо
B2(r)= J (v-b)3F(v, r)dv. (10.18)
b
В частности, в гауссовом случайном поле
f(v,r)=-aib-g(<|j. + TMi]- (1019)
2 Уя; [4>i + ^ (г)1
Самые простые результаты получаются, если в функции F(v, г) главную роль
играют значения г, малые по сравнению с хо (так обстоит дело, если
корреляционная функция Ч7 (г) достаточно быстро убывает с увеличением г).
При этом
A (s, г)" A (s, 0) = A (2s)
§ 11. РАДИУС ЛОКАЛИЗАЦИИ. СТЕПЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИЗ
(последнее равенство вытекает из определения А с учетом макроскопической
однородности системы). Следовательно, F(v, 0) " V2 A (v/2). Обозначим
через Е0 характерную энергию, фигурирующую в функционале A{s, 0) (в
гауссовом поле Е0 = = v4i)> и положим
Х = Ь/2Е0. (10.20)
Тогда, сравнивая выражения (10.9) и (10.17), мы получаем, полагая v = at:
00
[(t- I)3 А (Я t) dt
<v2> 4 ( bmx2 Y/2
(V-J 4------------------------• 00.21)
(j *3/2Л (Я t) dt 0
В гауссовом поле при слабом отталкивании, когда Я <С 1, правая часть
(10.21) оказывается пропорциональной
mx^b mxllfT
А2 Я3/2 h2bl/2
(10.22)
Поскольку h2/mxl- порядка энергии ионизации, величина (10.22) может
оказаться и не малой.
С другой стороны, при сильном отталкивании, когда Я^> 1, концентрация
двухэлектронных уровней, как и следовало ожидать, сравнительно невелика:
левая часть (10.22) оказывается заметно меньше единицы.
