Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяющие условиям
сп^п(0)=1> с2 msRe> c2m+lsIro, (7.38)
п > О
FW = Z тг Sdkl • • ¦ rfk'6<kl + ¦ • • + k') X
l> 2
ХФ/(к" .... к,)/(к,) ... /(к,), (7.39)
Ф/ - некоторые достаточно регулярные ядра.
Точный смысл последнего выражения состоит в следующем. Пусть
Ф| (0, ..., 0) < оо, h = фг (0, ..., 0) Ф~1'2 (0) Г3 < оо, (7.40)
а с - некоторая постоянная. Мы будем считать, что ряды *)
Sl <2)= Z 7Г = Z °kHk (cSl)' Sa = Z °kHk V (7-41>
1>2 Ь>0 к
сходятся при всех конечных значениях вещественного аргумента
z, причем так, что интеграл
оо
1= § ^-e-*!S2(z)< оо, (7.410
*) В дальнейшем (§ 9) возникают выражения именно такого типа.
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
85
а 53(г:) возрастает при г-voo не быстрее, чем экспоненциально. Условия
(7.40), (7.41) заведомо выполняются для достаточно гладких случайных
полей.
Наличие б-функций в членах ряда (7.39) имеет ясный физический смысл: это
есть не что иное, как отражение свойства макроскопической однородности
системы. По той же причине в ряде (7.39) отсутствуют слагаемые с 1 - 0,
1.
Легко связать друг с другом функции f, Ф и Ф/. Так, формулы (7.9),
(7.34') и (7.39) дают
(U (k') U (к")) = б (к' + к") {Ф (к') - Ф2 (к', к")}, (7.42)
откуда
(к) = Ф (к) - Ф2 (к, - к). (7.420
Интегрируя это выражение по к, получаем
Ф1 = Ф1 - jj Ф2 (к, - к), (7.42")
где
Ф! = ^ с?к Ф (к). (7.43)
По условию
Ф1 < оо, ^ dk Ф2 (к, - к) < оо. (7.430
Далее, условие ослабления корреляции на больших расстояниях в сочетании
с формулой (7.7) дает
к2 dQ, (к) Т (к) < оо при k -> 0. (7.44)
Здесь d?2(k) есть элемент телесного угла в пространстве "волно-
вых векторов" к. Мы примем несколько более сильное условие, полагая
(k) v const. (7.44')
4 ' *-"о '
Это условие действительно выполняется для ряда интересных систем (см.,
например, (7.36)).
В случае, когда условия ограниченности (7.43') не выполняются,
представление (7.34') становится неудобным. Естественно, поля такого типа
возникают лишь в результате некоторых идеализаций, при отказе от которых,
например, величина \|ц заведомо станет ограниченной. Тем не менее иногда
использование таких идеализированных случайных полей может оказаться
86 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
удобным. К. числу их относится, например, лоренцево поле*), для которого
9 [?/] = N [l + \ dk U* (к) /Г1 (к) U (к)]"1. (7.45)
Здесь N- нормировочный множитель, /?(к) - вещественная положительная
функция, удовлетворяющая условию
^ dk R (к) = г\ < оо. (7.46)
Характеристический функционал в этом случае легко вычисляется
непосредственно (см. Приложение V). Мы имеем
Л(г/) = р/С,(р), (7.47)
где через К\ обозначена функция Макдональда, а
p = [2"$dk|/(k)P*(k)f (7.48)
(имеется в виду арифметическое значение корня квадратного).
Пользуясь выражениями (7.20), (7.34') и (7.47), легко найти, в частности,
вероятность того, что абсолютная величина |Н(г)| будет очень велика.
Именно, обозначим через U\ заданную положительную величину (которую в
дальнейшем мы будем устремлять к бесконечности). Обозначим через Q]
вероятность того, что | ?/(г) |> UI. По определению понятия вероятности
мы имеем
Qi - <9 [ I ?/ (г) I - Ui]>, (7.49)
где 6(|) есть ступенчатая функция вещественного аргумента §:
Г 1. |>0, е(r)={о, ко. (7-б0>
Действительно, выражение <1> (равное единице по условию нормировки
(7.13)) можно рассматривать как объем всего пространства функций U. В
правой части (7.49) стоит доля этого объема, в которой реализуется
интересующее нас неравенство. Для вычисления этой величины удобно
воспользоваться интегральным представлением ступенчатой функции:
оо
9(r)=ST S 7^75-""•- 8^ + а <7-б0'>
*) Смысл названия "лоренцево поле" ясен из сравнения правой части (7.45)
с обычной формулой Лоренца, описывающей спектральное распределение какой-
либо физической величины.
§ 8. СОБСТВЕННОЕ СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ
87
Рассмотрим сначала случай U(г) > 0. Подставляя (7.50') в (7.49), мы
получаем
оо
\ 1^1ё ехр isUl^ (ехр [/S \dkU (к) е'кГ]) • (7-5
- ОО
Последний сомножитель в подынтегральном выражении в (7.51) есть не что
иное, как характеристический функционал (7.8) при г = -s и / = егкг. В
случае гауссова поля он дается формулой (7.20); при этом для Qx
получается, с учетом (7.6) и (7.7),
ОО
2ST \
- 00
При U1 д/2-ip! это дает
Qi = exp(- Щ/2%).
В более общем случае (7.34') мы получаем при (с учетом (7.38) и (7.43))
С?! = ехр (- Uy2<\pj).
Наконец, в случае лоренцева поля подстановка
(7.47) в интеграл (7.51) дает (при 6^" Vri)
Q,-(l+W1;
параметр г\ здесь дается формулой (7.46).
Пусть теперь U(г) ¦< 0. Тогда для Qi получается прежняя формула (7.51), в
которой следует лишь изменить знак в последнем сомножителе: теперь
фигурирует характеристический функционал (7.8) при г = -fs и 1 = еш.
Согласно (7.20),
(7.47) и (7.48) в гауссовом и лоренцевом полях при этом получаются
прежние результаты (7.53а) и (7.53в). В случае поля общего вида формула
(7.34'), вообще говоря, несимметрична относительно замены z->-г. Однако
