Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Физические соображения позволяют ограничить класс функций V(r), на
котором функционал 9>\V\ отличен от нуля. Действительно, естественно
ожидать, например, что потенциальная энергия носителя заряда будет
непрерывной функцией координат (за исключением, может быть, отдельных
точек), окажется- хотя бы в среднем - ограниченной по величине и т. д. Мы
будем предполагать возможность разложения Фурье
V(r)= ^dkV {k)eikt, (7.1)
причем случайные коэффициенты Фурье 1/(к) могут быть как обычными, так и
обобщенными функциями. В силу вещественности потенциальной энергии F(r)
мы имеем 1/(к)=У*(-к).
Иногда удобно пользоваться разложением не в интеграл, а в ряд Фурье. Для
этой цели надо рассматривать систему большого, но конечного объема Q,
накладывая условия периодичности на его границах.
Тогда вместо (7.1) получим
V(r) = Q~m'Zeikrvk, vk=v'_k. (7.10
k
В пределе при ?2->оо мы имеем
k
Здесь точками обозначено суммируемое выражение, асимптотически при Q->oo
не зависящее от объема Q. Следовательно,
¦'i-'frarVflt). <7-2>
В соответствии со сказанным в § 1.4, представим потенциаль-
ную энергию V в виде суммы систематического Vs и случайного V,
слагаемых*):
V=V.+ Vr. (7.3)
*) В силу линейного характера соотношения (7.1) аргументы функций V, Vs и
Vr можно не указывать. Заметим, что слагаемое Vs не обязательно
периодично.
74
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Разбиение такого типа, разумеется, неоднозначно. Мы можем воспользоваться
этим обстоятельством, включив среднее значение Vr в систематическую часть
Vs¦ Именно, положим
Vr = (Vr) + U, <?/> = 0, (7.4)
и включим <Рг) в систематическое слагаемое Vs-
Вообще говоря, величина <УГ) может и сама зависеть от координат. Мы
ограничимся изучением макроскопически однородных систем, в которых такая
зависимость отсутствует. В сущности, это есть часть определения: система
со случайным полем называется макроскопически однородной, если все
средние значения типа <У(г!) ... У(г;)> (/ = 1,2,,..) зависят лишь от / -
1 разностей п - г;, г2 - п, ...*).
Физический смысл этого определения очевиден: все точки макроскопически
однородной системы статистически равноправны. Примером такой системы
может служить кристалл с постоянной в пространстве средней концентрацией
примеси.
Если потенциальная энергия носителя заряда в случайном поле не зависит от
типа носителя, то величину <1/г> можно положить равной нулю: это сводится
лишь к определенному выбору начала отсчета энергии. При взаимодействии
типа потенциала деформации значения Vr для электронов и дырок, вообще
говоря, различны; при этом слагаемое <Vr), будучи включено в Es, приводит
к перенормировке ширины запрещенной зоны. Последний эффект может
проявиться, например, при между-зонном поглощении света (гл. V). В обоих
случаях, однако, мы приходим к задаче о статистических характеристиках
поля U с нулевым средним значением. Величину теперь надо рассматривать
как функционал от U\ соответственно мы будем иметь дело со случайными
коэффициентами Фурье ик и U(к), связанными с U (г) и друг с другом
соотношениями вида (7.1), (7.1') и (7.2).
Статистические свойства поля U (г) удобно характеризовать с помощью
корреляционных функций**)
Wn (Г[, ..., г ") = <?/ (г,) ...U (г")>, п > 2. (7.5)
Действительно, все измеряемые на опыте величины, зависящие от U,
выражаются через функции (7.5). Так, например, средний квадрат флуктуации
потенциальной энергии носителя заряда г|ц дается формулой
_________________ = (и2 (Г)) S W2 (г, г') Ir,=r. (7.6)
*) Это определение эквивалентно принятому в книге [13], но более
наглядно.
**) В дальнейшем мы будем чаще всего пользоваться бинарной корреляционной
функцией 'Уг. В тех случаях, когда это не может повести к недоразумению,
индекс 2 будет для краткости опускаться.
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ 76
В макроскопически однородной системе величина \|ц есть константа, а
функции Ч'п зависят только от разностей щ- г", Г2¦-гп, ... В частности,
бинарная корреляционная функция
= Д зависит только от п-г2 = г. По этой причине может оказаться удобным
представление Фурье:
Д(г) = $ДсешД (k). (7.7)
Из физических соображений следует, что корреляционная функция Чг(г)
должна обращаться в нуль при г->оо. Действительно, корреляция между
случайными величинами ?/(п) и U(г2) должна ослабевать при раздвижении
точек щ и г2 (это есть проявление весьма общего принципа ослабления
корреляции (Н. Н. Боголюбов, I960)). Соответствующую характерную длину
(радиус корреляции) мы обозначим через |0-
Функции Дга удобно выразить через характеристический
функционал *)
А (zl) - ^ехр | - iz ^ dk U (k) I (к) . (7.8)
Здесь z - комплексное число, возможный знак мнимой части которого
определяется условием сходимости получающихся в дальнейшем интегралов,
/(к) = /*(-к) - произвольная функция.
Действительно, варьируя п раз функционал A (zl) по /(к), мы получаем
6пА (zl)
/.о = (-^)n<f/(k1) ... f/(kj), (7.9)
Ы (к,) ... 6/ (к") что в сочетании с формулой
