Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Как указывалось в § 1, роль случайного поля становится сравнительно
несущественной в материалах с гомеополярной связью. В частности, так
может обстоять дело в "хорошо приготовленных" аморфных германии и
кремнии. Рассмотрим поэтому модель случайной сетки атомов с
тетраэдрической координацией (§ 1.2). При этом можно воспользоваться
одним из вариантов метода сильно связанных электронов. Система
описывается следующим гамильтонианом (М. Ф. Торп, Д. Уэйр, 1971):
H = Vx Z \Фц)(Фц'\+У2 Z |Ф;/><Фщ1. (6.1)
1.1. Г
Здесь каждому атому с номером i отвечают четыре базисные функции Ф,у,
второй индекс, /, нумерует четыре связи. Базисные функции
ортонормированы, их можно представлять себе как гибридиэованные "р3-
орбитали. Простота модельного гамильтониана (6.1) состоит в том, что в
нем учитывается взаимодействие лишь между состояниями, отвечающими разным
связям одного и того же атома (член с К), и взаимодействие между
базисными функциями, относящимися к одной и той же связи, но к разным
атомам - ближайшим соседям (член с Кг). Несмотря на вариации в
относительном расположении и длине
S 6* ПОЛУПРОВОДНИК БЕЯ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ 71
связей, матричные элементы V\ и V2 считаются постоянными. При такой
записи гамильтониана ничего не говорится о нумерации атомов и связей
системы в целом - при сохранении строгого тетраэдрического ближнего
порядка система в целом не-упорядочена. Однако отсутствие разброса в
матричных элементах V\ и V2 означает пренебрежение флуктуациями
потенциальной энергии электрона. Иначе говоря, речь может идти только о
материале без случайного поля. По этой причине не вызывает удивления
результат, полученный при рассмотрении энергетического спектра системы с
гамильтонианом (6.1): при любом характере связности системы в целом в
двузонном энергетическом спектре существует щель Es величины
|?gl = 2| У2|-4| У,|. (6.2)
Это можно доказать следующим образом. Запишем решение уравнения
Шредингера (Я- ?)ф = О в виде разложения по базисным функциям:
Ф = ? (r)цац- (6.3)
I. /
Зафиксируем какой-либо индекс i и будем рассматривать величины ац как
компоненты вектора-столбца u(i), строки которого отвечают различным
связям / = 1, 2, 3, 4. Тогда коэффициенты at jt отвечающие
тем же связям, но четырем соседним
атомам с номерами Т, можно считать компонентами другого вектора v(i). С
помощью этих векторов уравнение Шредингера записывается как
Ми (/) = - V2v (г). (6.4)
Здесь
/-Е V! У,\
ы ~Е Vi Vi I ,а
\ Vi Vi -Е Vi Г ^ ^
'У, Vi Vt -Е /
Матрице М отвечают невырожденное собственное значение М = = -Е31Л и
трехкратно вырожденное собственное значение к2 = -E-V1.
Предположим, что ни одно из кт (т = 1,2) не превышает по модулю | V2\:
тах|Лт|<| V2\. (6.6)
Тогда, обозначив через ||о||, ||м|| нормы векторов, с учетом
(6.4) имеем для каждого i
- I ^2 III wII > {max| Хт |}||ы|| (6.7)
¦ II УII < *II и ||. (6.8)
Здесь 0 < х < 1.
72 ГЛ. И. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Покажем теперь, что сделанное предположение приводит к невозможности
нормировать волновую функцию. Определим величину
А/ (0 = I vi (О I2 - I И/ (*) Р• (6.9)
Просуммируем А/(г) по всем атомам кластера, содержащего 91 атомов.
Согласно (6.8) мы имеем
о > (X2 - 1) XIIU (/) I!2 > Е А/ (/). (6.10)
г г. /'
Однако величины Ду-(/) попарно взаимно уничтожаются для каждой связи
внутри кластера. Отсюда вытекает результат
X А/ (/) = X АД/). (6.11)
г, / (, /
по поверхн.
Следовательно,
Хад/) < X II"(о II2 (1 + *2). (6.12)
i> i i по поверхн.
Суммирование в правых частях (6.11) и (6.12) ведется по номерам граничных
атомов, имеющих по крайней мере одну разорванную связь. Будем теперь
поэтапно наращивать число атомов в кластере таким образом, чтобы все
разорванные на некотором этапе связи оказались внутренними на следующем.
Определим нормировочную функцию:
•S^SCXIImWIJ2. (6-13)
i
Тогда полученные выше неравенства дают
Sn+i ^ 1 + х2 /е 1(1Ч
>Ж~77 -5Т5- (6Л4)
Sn 91^4-1 2х2
При добавлении новых слоев к кластеру отношение 9l"/91"+i стремится к
единице при достаточно больших п. Действительно, разность между
величинами и Sln+i возрастает с п как объем слоя единичной толщины, т. е.
как п2, тогда как сами эти величины растут как п3. Поэтому левая часть в
(6.14) оказывается ограниченной снизу, ибо 0 < х < 1. Отсюда вытекает,
что рассматриваемое состояние невозможно нормировать, - и условие (6.6)
определяет область энергий, в которой плотность состояний равна нулю.
Аналогично доказывается, что неравенство
min| Xm\>\V%\ (6.15)
также определяет запрещенную область энергий. Совокупность условий (6.6)
и (6.15) и дает приведенную в (6.2) величину щели Еа.
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
73
Неизбежным следствием данной модели оказывается наличие двух
дельтообразных пиков плотности состояний, располагающихся у краев зон.
Последнее затрудняет сопоставление получаемой в этой модели плотности
состояний с результатами других расчетов для аморфных структур.
§ 7. Статистические характеристики случайного поля
