Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
U(r)= Jdkeikr?/(k) (7.10).
определяет связь рассматриваемых вариационных производных с функциями
(7.5):
(-/аг)пД"(Гь ..., Г") =
х П N
/ т-* \ АПЛ i~*T\
. (7.11)
= \dk{ ... dkn exp J] k,r^ б/ (к^Л (
6nA (zl)
6/ (k")
/=o
Условие макроскопической однородности системы накладывает определенные
ограничения на свойства функциональных
*) Функционал А (z/) удобен и для непосредственного вычисления многих
средних значений.
76
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
производных от А по / при / = 0. Действительно, поскольку Д-,, может
зависеть лишь от разностей аргументов п, г", выражение под знаком
интеграла в правой части (7.11) должно содержать множитель 6(kj -f- ... -
f- k").
Укажем два типа случайных полей, статистические характеристики которых
легко вычисляются в явном виде. К первому типу относятся поля, в которых
существенные флуктуации потенциальной энергии носителя заряда возникают
при сложении большого числа случайных независимых ограниченных слагаемых
с конечной дисперсией, причем дисперсия их суммы неограниченно возрастает
при устремлении числа слагаемых к бесконечности. При этом для величин "к
справедливо многомерное распределение Гаусса
^ [?/] = JV ехр | - у]>]акиш-к|, (7.12)
где а к = а_к - вещественные положительные коэффициенты, N -
нормировочная постоянная, определяющаяся из условия
<1>=1. (7.13)
Такие поля мы будем называть гауссовыми.
Гауссово поле возникает, например, при взаимодействии носителей заряда с
низкочастотными фононами, удовлетворяющими условиям (1.1.4) (Е. В.
Бурцев, 1972). Действительно, согласно сказанному в § 1.1, энергию этого
взаимодействия можно рассматривать как потенциальную энергию электрона в
классическом случайном поле (1.1.6) (при со/ -^ 0). Последнее выражение
удовлетворяет условиям известной теоремы Н. Н. Боголюбова [27], чем и
доказывается сделанное выше утверждение. Легко вычислить бинарную
корреляционную функцию для этого поля. С учетом (7.4) мы имеем
^2 (Г - r') = Y ]Tc2C0S(q, г -г'). (7.14)
а
Поскольку область суммирования по q по условию ограничена лишь длинными
волнами, правая часть (7.14) есть плавная функция разности г - г': все ее
производные ограничены. В дальнейшем (§ 8) мы увидим, что существуют и
другие случайные поля, обладающие таким же свойством.
Ко второму типу относятся поля, в которых потенциальная энергия носителя
заряда дается суммой вкладов от отдельных центров, расположенных в
случайных точках R, (г = 1, ..., N, где N - полное число центров); при
этом корреляция между
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
77
координатами различных центров отсутствует*). В указанных
условиях вероятность обнаружить центр i в элементе объема
dRi около точки R( есть
dP(Rl) = -4§L, (7.15)
а вероятность данной (Ri, .... Rп) конфигурации всех центров дается
выражением
N
d&( Ri R") = II^- (7Л5,)
i=i
С такими полями приходится иметь дело в астрономии - при вычислении
случайной силы, действующей на данную звезду со стороны множества других
хаотически движущихся звезд [28], в физике легированных полупроводников,
когда роль "центров" исполняют атомы или ионы примеси, и в ряде других
задач. Поля такого типа мы будем называть пуассоновскими - по причинам,
ясным из теории вероятностей. Как известно (в дальнейшем это будет явно
показано), при определенных условиях пуассоновское поле переходит в
гауссово. Так обстоит дело, если флуктуации концентрации примесных атомов
в должном смысле малы (см. ниже, (7.32), (7.33)).
Рассмотрим сначала гауссово поле.
Тот факт, что под знаком экспоненты в (7.12) стоит простая (а не двойная)
сумма, связан с макроскопической однородностью системы. Действительно, в
силу соотношения типа (7.1') для U
иъ = ОГщ\йге-^и (г).
Подставляя это в (7.12), мы получаем
^[f/] = iVexp{-i$dr dr'U (г) В (г - г') U (г')}, (7.12')
*) Разумеется, предположение об отсутствии корреляции носит приближенный
характер. Фактически в расположениях, например, атомов примеси в
полупроводнике всегда имеется корреляция. Она обусловлена хотя бы тем,
что два различных примесных атома не могут находиться в одном и том же
узле решетки. Учет этого обстоятельства (Р. А. Сурис, 1963; Б. Эссер,
1972) приводит к поправкам порядка titd3, где nt - полная концентрация
примеси, a d - постоянная решетки.
Возможна также корреляция в расположении примесных центров за счет
действующих между ними кулоновских сил притяжения или отталкивания. Учет
этою эффекта, однако, неизбежно связан с введением дополнительных гипотез
модельного характера. По этой причине мы ограничимся лишь рассматриваемым
здесь простейшим случаем.
78 гл. И. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
где В (г - г') есть положительно определенное ядро,
В (г - г') = ?Г1 ? ate-' <*¦ '-о (7.16)
к
Если бы в (7.12) фигурировала двойная сумма вида
? а (к, к')ыкЫк',
к. к'
то, как легко убедиться, мы получили бы вновь выражение (7.12'), но с
ядром общего вида:
В (г, r') = Q~' ? a (k, k')e~ikr+ikV. (7.16')
