Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
d2U Гs I l t s2^2
dRadRp
Ттл^ + '5ГТМР“ » Ла*р1 (XIL26)
[8 ^ 24m^ p 8 mc 1 J
<jfu (R. Г, k s) — i
24 mn . d2U
V2 u — 8mv VRU
s3h4
dRadRf
[j VP +
24 m„
s2h2
8m,
1 1
ra.kji I •
(XII. 27)
Одночастичные функции Грина при наличии постоянного электрического поля легко получить из (XII. 25), (XII. 26) и (XII. 27) заменой U(R) на
ПРИЛОЖЕНИЯ
373
U(R) -f egR. в результате имеем G{‘] (R, г, со; g) =
ОО
= ^ ds ^ dk ехр es + is [йсо — Ei ^ — u (R) —
+ /кг + фг_ s (R, r, k, s)}, (XII. 28)
где
Фе, , (R, r, k, s) = - / (eg)2 - i^~(eS. ВД+Фе (R. г, к. a) (XII. 29)
и
ф0, , (R, r, k, s) = / (eg)* + i __ (ee VKU) + фв (R, r, k, s). (XII. 30)
Приведем для удобства основные формулы, описывающие правила усреднения физических величин по ансамблю гауссовых гладких полей. Оно производится с плотностью распределения, задаваемой функционалом (II. 7.12'). Усредним указанным образом выражение типа (см. (XII. 28))
А = (ехр F^U (R)), (XII. 31)
где F ^— линейный дифференциальный оператор. Получим
А = ехр | ^г- FpFR,’F (R, R') II , (XII. 32)
I ^ JlR = R'
где 4r(R, R')—бинарная корреляционная функция случайного поля:
*Р (R, R') = <?/ (R) U (R')). (XII. 33)
Обобщим указанный рецепт на случай отличных друг от друга случайных потенциалов Ur. и Uv, отвечающих носителям заряда в разных зонах, с и и. В этом случае усреднение производится с функционалом
*[t/ftt/Bl-tfexp{-l$rfr$rfr'[ U с (Г) Всс (Г, Г') U а (г') +
+ U0 (г) Bvv (г, г') Uv (г') + 2Uе (г) Bcv (г, г') Uv (г')] }. (XII. 34)
Аналогично (XII. 32), усреднение по распределению (XII. 34) дает (Fc и Нелинейные дифференциальные операторы)
Acv = (ехр {FCUC (R) + FVUV (R))> =
= ехр { 1 Fc (R) Fc (R') Vce (R, R') + ~FV (R) Fv (R') Vvv (R, R') +
+ Fc (R) Fv (R') 1Pct, (R, R') 11 . (XII. 35)
' IR —R'
Здесь фигурирует очевидное обобщение функции (XII. 33):
Vlv (R, R') = (Ut (R) Uv (R')>. (XII. 36)
Наконец, в качестве примера использования полученных в настоящем при-ложгаин выражений приведем результат для плотности состояний в l-н зоне.
374
ПРИЛОЖЕНИЯ
Исходя из выражения (XII. 25), в низшем по кг приближении получаем
ОО
Pi (Б) Re jj dk expj — es + is [E ~ E{ (k)] — j i|>ws2 1. (XII.37)
Q
На хвосте плотности состояний глубоко под дном зоны проводимости невозмущенной задачи мы получаем отсюда
.3/2 / Р2
Ф\отТ ( Е л
p-,?,~i7T7F7‘xpVi^J' (Х,1-38)
ХШ*. Вычисление интеграла по <о' в формуле для е2((о) (V. 2.1)
Вычислим интеграл
ОО
/ (s + s') = ^ dm [nF (а/ — со) — rip (a/)] el (s+s,) (XIII. I)
— ОО
Подставляя сюда
n/;.(a>) = [ep(Am-f,+l]~‘. (XIII. 2)
мы получаем
/(s+s')=— el (s+s)iF+ 2 )sinr(s+s')l^l f *1—eUs+m (xni. 3)
h L 2 J J ent + 1
- OO
Интеграл по | легко вычисляется:
OO
[ ei|s+s')?=n Гб (s + s')--------------------1. (XIII. 4)
J + 1 L p sh [(s + s') я/p] J
•OO
Подставляя (XIII. 4) в (XIII. 3), находим
I 2jt J (s+s') (f+to/2) sin [(s + s') /г<в/2)
J(s + s)-he p sh [(s + s') я/Р] •
Заметим теперь, что существенные значения s и s' порядка Е-1, где Е — некоторая характерная энергия, на которой убывает коэффициент поглощения в запрещенной зоне. Мы рассматриваем случай низких температур:
77?<1.
Поэтому sh[(s + s')it/|3] можно заменить на (s + s') it/p.
Таким образом, мы получаем из (XIII. 5)
/(*+*')-4V ^^>(^^/2)1шК5ДОйсо/2| (xnL6)
Это выражение можно получить и непосредственно из (XIII. 1), если заменить функции Ферми ступенчатыми функциями.
Используем теперь повсеместно принимаемое нами предположение о достаточно большой ширине запрещенной зоны:
ПРИЛОЖЕНИЯ
875
Так как Йео порядка Es, мы получаем, используя известное представление 6-функции,
