Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь
* ^7 v“ <mi2>
И
V (R, r) = y[t/(R + r/2) + t/ (R-r/2)],
где верхний (нижний) знак отвечает случаю I = с (l=v). Уравнение (XII. 10) решается с дополнительным условием (XII. 11). В дальнейшем мы будем решать уравнение (XII. 10) для случая I >= с, опуская индекс с для краткости. Решение для l — v получается заменой тс~>—mv и при учете того, что Ev (0) = —Es.
Уравнение (XII, 10) решается методом, аналогичным «методу пятого параметра» в квантовой электродинамике [62, 63]. Замечая, что функция Gr(R, г; со) аналитична в верхней полуплоскости комплексной переменной со, представим ее в виде
ОО
Gr (R, г; со) = ^ ds elsha-*sLb (г), (XII. 13)
о
где оператор L есть
L = ехр {- is (TR +Tr + V (R, г))}. (XII. 14)
В силу плавности изменения гладкого поля в пространстве при рсализаци» оператора L можно использовать квазиклассическое приближение. При этом мы будем оставлять квантовые поправки по случайному полю до порядка к2 включительно.
Реализация оператора L выполняется следующим образом. Выделим из оператора L сперва оператор ехр (— isTR), определив новый оператор Si соотношением
L = Slexp(-isTB). (XII. 15)
Дифференцируя равенство (XII. 15) по s, получим дифференциальное уравнение для Si:
. as, 1 <?«
= S, {т( + е tsTRV (R, г) е157к}. (XII. 16)
Приложения 971
Пользуясь известной формулой операторной алгебры
еАВе-А = В + [АВ)- + ±[[А1АВ}-]- +-1 [А [А [/4Я]-]-1- + .... найдем, оставив члены до порядка й2 включительно:
. <?s,
1 ds
= S, { Tr + V (R, r) + is^V\V (R, r) + is-^- (VR v (R, r), VR) }. (XII. 17)
Уравнение (XII. 17) содержит дифференциальный оператор по R только пер-
вой степени. Выделим теперь этот оператор, положив
Si=V*P {^(V. \)}- (XU-18)
Дифференцируя (XII. 18) по s, получаем уравнение для оператора S?. Оставив в нем члены до порядка ft2, имеем
dS*- = S2 { TV + V (R, г) + is JJL V\V (R, r) + (VRV (R,r))2 }.
(XII. 19)
1 ds
Заметим теперь, что существенные расстояния | г | ~ й/р, т. е. порядка длины волны электрона. Последняя мала по сравнению с длиной, на которой существенно изменяется U(х) (характерная длина, на которой U{x) изменяется существенно, есть корреляционная длина L, определяющая убывание функции Ч^х, х') с ростом |х — х' |, так что 1 <g.kL). Поэтому функцию L/(R + r/2) можно разложить в ряд по степеням г. Замечая еще, что
, видим, что степени г в таком разложении эквивалентны степеням h. Таким образом, с принятой степенью точности имеем
nR.„*U(B)+4^-Vs. «11.20)
а в квантовых поправках в (XII. 19) величину U (R, г) можно заменить на U( R). Тогда получим
' ds
Выделим теперь оператор Тг, положив
S2 = S3 ехр (— is7'r). (ХН.22)
Тогда уравнение для S3 примет вид . dS3 0 f „ /пч , , sh2 „2г, , s2h2
f гг I , sh2 „2 ,, ,
372
ПРИЛОЖЕНИЯ
С принятой степенью точности имеем
dSs „ f ,,/m , 1 d2U , ish2 „2 ,i , s2h2 г,ч, ,
_ = 53 { U (R) + т raг, + _ VRt/ + _ ( W +
, ish3 dU д sW d2U д2 \
4т dRadRa “ drR 8m2 dtfad/?8 5гадгй у
А д П2 д2
Следует отметить, что в дальнейшем операторы-^- и ^ ^ действу-
ют на функцию eikr, давая члены порядка hk/rn и h2k2!m, которые не малы по А или А2. Поэтому наличие последних двух членов в (XII. 23) не является превышением точности — они также порядка А2, как и остальные. Кроме того, опять в рамках принятого приближения, все члены в правой части (XII. 23) коммутируют. Тогда уравнение (XII. 23) легко интегрируется:
S3 = exp |-i ^ds' /C(s')j, (XII.24)
где величина K(s) есть выражение в фигурных скобках в уравнении (XII. 23).
Подставим (XII. 15), (XII. 18), (XII. 22) и (XII. 24) в (XII. 13) и используем интегральное представление для функции б (г). Получим для функции Грина /-й зоны
0<г) (R, г; со) =
ОО
= ^ ds ^ dk ехр {— es + is [Aco — ?, (k) — U (R)] + ikr + срг (R, r, k, s)},
о
(XII. 25)
где ?/(ft) есть закон дисперсии в t-ft зоне (см (XII. 8), (XII. 9)), а функции ф/ (I = с, v) даются выражениями
9c(R,r,k,S) = -|^M2 + ^l^-
