Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1(u)=y и~2 |п О + "2) ~ (1 + и2)-2, (IX.26)
i (и) = -i In (1 + и2) + (1 + u2)-2. (IX.27)
Нетрудно убедиться, что при малых и выражение (IX. 25) получается из дру-
гого, вытекающего из (IX. 26), (IX. 27):
w (и) = [1 - и~2 In (1 + н2)] (1+2(1 + н2)-1), (IX.28)
w (и) « (3/2)«2, и<1. (IX.29)
Фактически только два последних выражения и нужны для вычисления Пц (у.) с прежней точностью (до постоянного множителя). Снова можно отбросить третье слагаемое в правой части (IX. 20) и положить
-i- ф (2) = In w (2, к) = у In Др = — In к + Const (IX.30)
Далее, интеграл по г в выражении (IX. 20) можно переписать в виде
ОО
^ dz In w (г, я) = — vx + 4 In к + (л/З — l) + О (1). (IX.31)
2
Corj’dCHO (IX. 30) и (IX. 31) находим окончательно
Пц (к) = ^ ехр { к [v - ^ (V3 - 1)] } = (IX.32)
где константа v дается формулой (IX- 12).
X*. Поведение решения кинетического уравнения в области малых частот
Исследуем поведение решения кинетического уравнения (IV. 4.13) в области низких частот. Вводя обозначения
Г6/х (со) ч v п
Yx = 2_,ru,
это уравнение можно переписать в виде
(Ух + (Ех) [1 -nF (Ех)]) + ? ГП'Уу = - Z (Гх - Гк,). (Х.1)
У У
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 14,6, и будем обозначать состояния, локализованные в подсистеме А, символами ц (ц = 1, 2, N), а со-
стояния, локализованные вне ее, — символами V. Тогда уравнение (Х.1) можно переписать в виде системы N неоднородных линейных алгебраических уравнений:
(Уц + tonP (Е^) [1 - nF (?„)]) Уц (<») - ? Г^, (со) =
(х-2)
W
ПРИЛОЖЕНИЯ
365
Здесь /д = ^ 1цг> гДе /^v — парциальные потоки между центрами (см.
V
(IV.4.14)). Таким образом, /д есть «граничный» поток, втекающий в [i-й центр подсистемы А из внешних центров; потоки /д отличны от нуля лишь для центров, близких к границам (лежащих на расстояниях порядка Rc от них). Формальное решение уравнений (X. 2) можно записать в виде
Ун Ы = Оц («О/Л (<о). (Х.З)
Здесь
Д (со) = | {Уд + Шр [Е^)\\-пр (?д)]} - Гщ1, | (Х.4)
есть детерминант системы (порядка N), а Од (со) — детерминант, полученный из D(со) заменой [i-го столбца неоднородными членами. Таким образом,
(“)=—? W (*V - *V) V.» -г Е Wn (“)• <х-5>
ц'и" И'
где Л / (со) — соответствующие алгебраические дополнения. Из формулы (X. 4) и определения видно, что D(со) —0 при со ->¦ 0, поскольку сумма всех столбцов детерминанта дает столбец, [i-й элемент которого равен
1(йпр (Е ) [1 — rip (?д)]. Раскрывая определитель по этому столбцу, получаем
D (со) = /со ? пр (EJ [1 - Пр (?(1)] (со). (Х.6)
н
С другой стороны, величины (со) остаются конечными в пределе со->О. Более того, в силу линейной зависимости строк определителя (X. 4) при со — О все дополнения Лдд' (ш) при со = 0 одинаковы:
lim А ,(<*)= А. (Х.7)
ш-»0 ^
Эти свойства определителей позволяют исследовать поведение решения (X. 3) при со->-0. Используя (X. 5), перепишем (Х.З) в виде
Уц (“) =
I W (со) Т ? у (со)
________цУ______________________________________________________________=
1(0 I nF (Ew) Vi (ш> Z nF (V) P-MV)] Vi <“>~
w w
+ (X.8)
Первый член в (X.8) остается конечным при со ->¦ 0. Действительно, сумму, стоящую в числителе, можно преобразовать следующим образом:
Z ГMV (*V - *V) л^. = X (VV'u' - V,') V, =
= S {(^Ц' "1" ,c0/v (Ец') Р nF (^V)]) ®ц'м/ — Ац"ц —
li'ix"
~ to ? Га,пР (Яд,) [1 - пе (Еи,)] Л'ц =
= T^D (со) - /со ? Ги,п, (?„) [1 -пр (Б»,)] А^. (Х.9)
и'
Отсюда, с учетом (Х.6), видно, что числитель пропорционален со при малых to.
