Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/(s + s')«i5-a(e+e'). (XIII. 7)
п
XIV*. Квазиклассический расчет функции Грина для электрона в примесном случайном поле
Вычислим здесь одночастичную функцию Грина для случайного поля (II. 7.23), обусловленного примесными центрами. При этом будем применять модифицированное квазиклассическое приближение, основанное на неравенстве (V. 4.5). Исходим, как и в случае гладкого поля, из общих формул (XII. 13) — (XII. 15). Для реализации оператора
Z. = S,e-‘irR (XIV. 1)
поступим теперь следующим образом. Заметим, что в выражении
— isTр__ . isTр
е rF (R, г) е R
в дифференциальном уравнении (XII. 16) для 51 в члене п-го порядка квазиклассического разложения по степеням Й2, помимо прочих, имеется следующее слагаемое:
V(R’r>- (XIV. 2)
В силу кулоновской особенности мы получаем теперь вблизи каждого примесного центра сингулярности вида Др (1/#). Легко убедиться в том, что в п-м цорядке выражение (XIV. 2) представляет собой наиболее расходящийся член. Идея модифицированного квазиклассического подхода заключается в суммировании по п всех наиболее расходящихся членов типа (XIV. 2). Это суммирование дает перенормированную потенциальную энергию F(R, г, s) в виде
F (R, г, s) = e~Is7V (R, г). (XIV. 3)
Пользуясь представлением для U(R г/2) в виде интеграла Фурье и дифференцируя под знаком интеграла, получаем
F (R, г, s) = ^ dq U (q) ехр (iqR — ish2q2/8m) cos С/гЧг), (XIV. 4)
где U(q) есть фурье-образ случайной потенциальной энергии, а т — эффективная масса в соответствующей зоне. Перенормированная потенциальная внергия (XIV. 4) содержит новую характерную длину I — Vпомимо длины экранирования, входящей в t/(q). В дальнейшем мы применяем квазиклассическое приближение к функции (XIV. 4) *). На расстояниях порядка 7 от данного центра квазиклассическое приближение будет неприменимо (параметр разложения обращается в единицу). Отношение вклада от таких областей к вкладу от основных областей, размером порядка радиуса экранирования г о, будет мало при условии
P<rl (XIV. 5)
•) При этом следует проявлять осторожность, поскольку «множитель сходимости» ехр(—ish2q*/8m) в (XIV. 4) не экспоненциально убывающий, а рсциллирующиц.
376
ПРИЛОЖЕНИЯ
Как видно из формул (V. 4.17) и (V. 4.18), характерные значения s, существенные пои вычислении коэффициента поглощения, определяются условием s-1 ~ (па|)2/5 Ев. Подставляя это в выражение для 2, видим, что условие (XIV. 5) эквивалентно равенству (V.4.5). Таким образом, мы получаем уравнение для Si в виде
'• ^§Г = ^ { Tt + F (R, г, s) + i^ (VrF (R, г, s)), Vr}. (XIV. 6)
Введем теперь оператор S2 аналогично (XII. 18);
S, = S2exp (^1VR ), (XIV. 7)
где
i (R, r, s) = VrF (R, r, s). (XIV. 8)
С принятой степенью точности имеем
ехр (if *0 f (R’r- exp (~ 4“ ^Vr) = F (R + T r’s)'
Таким образом, для оператора S2 получаем уравнение dS2
1 ds
= S2{7-r + F (r + ^-1, r, s)}. (XIV. 9)
В дальнейшем член I окажется несущественным, но пока это неясно. По-
($2 ч ^2
R + ~2~%, г, sj не разложена по ?, как это
делалось в Приложении XII при выводе уравнения (XII. 19).
Поступая теперь аналогично с оператором Тг, положим
52 = S3 ехр (- isTr) (XIV. 10)
и
53 = S4exp (4-riVr). (XIV. 11)
где
4-1H-f',3(R+Tr5’r's) (X,VI!)
О (и + i-l. г. «) - t- r, ) (XIV. 13)
Уравнение для Si таково;
iigL_S.0(R + 4s,r + 4„,/). (XIV.H)
Интегрируя это уравнение и используя формулы (XIV. I), (XIV. 7), (XIV. 10)
и (XIV. 11) для вычисления L8{г), имеем
is
— i ^ ds' G (r + 1- г + П, s') +
l о
+ <-^№)-/S-gp + /(kr))}. (XIV. 15)
ПРИЛОЖЕНИЯ 377
Подставляя (XIV. 15) в общее выражение (XII, 13), мы получаем одночастичную функцию Грина в случайном поле примесных центров. При ррсчете ме-ждузонной диэлектрической проницаемости по формуле (V. 1.14) мы воспользуемся упрощающим неравенством (V. 4.6). Тогда в функции Грина валентной зоны (/и, = т0) можно перейти к пределу оо. Получим
ОО
G(R, г со) (г) ^ ds ехр | Is (fico + ?g) —
