Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
т
Приложения
С другой стороны, последний член в (X. 8) в силу свойства (X. 7) при малых со ведет себя как
т I v
--------^----------------------. (Х.10)
М-'
В числителе i^> есть сумма граничных потоков. Для подсистемы А м.'
(рас. 14,6) мы имеем
Z 'и' = 1 (*1) ~ 1 (Х2)> р-'
где i(Xi) есть суммарный поток, втекающий через плоскость х = Xi, а г(лтг) — поток, вытекающий через плоскость х = хг. Если средний поток меняется вдоль оси Ох по закону eikx, то при kL — k(x2 —xi) < 1
Js)________П (xl + L/2) kL
*Е«,и1'-мч1'
Регулярная часть решения не дает вклада в плотность статического тока. Действительно, с учетом (X, 9) имеем
Z г/;Ч (?,,) [1 - п, (?,)] = ? Г^пр (Еа) [1 -nf (?й)] -ц ц
II T,l’nF (Еи‘) [! - nf (V)] A»’».nF (Ец) I1 ~ nF (?^)]
. (X. 12)
ZMVH1
У-'
Замечая, что в пределе со0 сумма и
и не зависит от |х', мы видим, что выражение (X. 12) обращается в нуль. Таким образом, конечное значение плотности статического прыжкового тока обусловлено сингулярной частью решения (X. 11). Подставляя (Х.8), (X. 11) в формулу (IV. 5.8), мы получаем в пределе при со 0 для средней по объему плотности тока
’-ш—:V—'— т-м- 'х'3>
что, с учетом определения потока i(*i) через границу х = Xi, в точности совпадает с выражением (IV. 5.14).
XI. Некоторые результаты стандартной теории протекания [51—53]
Пусть имеется решетка регулярно расположенных узлов, причем соседние узлы соединены связями. Будем для определенности считать, что наличие связи между узлами означает возможность протекания по ней жидкости; иногда говорят, что узлы, соединенные связями, «смачивают друг друга». Существует два способа введения беспорядка в рассматриваемой системе:
ПРИЛОЖЕНИЯ
367
а) будем случайным образом, с вероятностью 1—р, блокировать (разрывать) связи в системе (задача связей);
б) будем случайным образом, с вероятностью 1 — р, блокировать узлы (задача узлов).
Макроскопически большая («бесконечная») система называется протекае-мой, если сквозь нее возможно течение жидкости по неразорванным связям (в задаче связей) или по связям, проходящим только через открытые (небло-кированные) узлы (в задаче узлов). Очевидно, что исходная система при р — 1 протекаема. Задача протекания состоит в определении минимального значения р = рс, вплоть до которого бесконечная система остается проте-каемой.
Будем называть иеразорванные связи, сходящиеся в общем узле, зацепляющимися, а совокупность зацепляющихся друг за друга связей — кластером связей. Аналогично, кластером узлов называется совокупность смачивающих друг друга открытых узлов. Ясно, что появление протекания в бесконечной системе при возрастании р связано с образованием бесконечного кластера связей или узлов, а порог протекания представляет собой порог образования бесконечного кластера. В области р < рс в системе существуют лишь конечные кластеры, размеры которых возрастают при р-*-рс-
Задача узлов в известном смысле оказывается более общей Именно, задачу связей можно всегда свести к задаче узлов на решетке иной геометрии,
помещая узлы в центрах связей и сопоставляя блокированные узлы блокированным связям (обратная процедура возможна не всегда). Рис. 33, а иллюстрирует задачу связей для простой квадратной решетки; а рис. 33,6 — эквивалентную ей задачу узлов на решетке, в которой связаны не только ближайшие, но н часть вторых соседей. Видно, что геометрия решетки в эквивалентной задаче узлов оказывается, вообще говоря, более сложной, нежели в исходной задаче связей. По этой причине сводить задачу связей к задаче узлов не всегда удобно.
Между порогами протекания в задаче связей и узлов, р^ и р^\ для одной и той же решетки существует соотношение р^ ^ р^\ Это неравенство есть отражение того факта, что блокировка узла означает одновременно блокировку всех связей, сходящихся в этом узле.
За исключением небольшого числа простейших двумерных решеток, порог протекания не удается найти аналитически. Существует, однако, большое число расчетов на ЭВМ для различных двумерных и трехмерных решеток; некоторые результаты этих расчетов приведены в табл. IV, взятой из обзора [52].
368
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица IV
Решетки г 'Г P(i) '>с = гР{с) /
Двумерные
Шестиугольная 3 0,6527 * 0,700 1,96 0,61 0,427
Квадратная 4 0,500 * 0,590 2,00 0,79 0,466
Треугольная 6 0,3473 * 0,500 2,08 0,91 0,455
Трехмерные
Типа алмаза 4 0,388 0,425 1,55 0,34 0,145