Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
п. к. 6 0,247 0,307 1,48 0,52 0,160
О. ц. к. 8 0,178 0,243 1,42 0,68 0,165
Г. Ц. К. 12 0,119 0,195 1,43 0,74 0,144
*) Звездочкой отмечены точные результаты.
Из табл IV видно, что значения р^ и р^ заметно различаются для решеток разных типов. В то же время существуют определенные комбинации параметров (так называемые приближенные инварианты теории протекания), мало меняющиеся при переходе от одной решетки данной размерности к другой. К числу таких инвариантов относятся:
1) Среднее число связей, приходящееся на один узел, \с = zp^\ где г — координационное число. Из табл. IV видно, что для двумерных решеток vc « 2,0, а для трехмерных vc « 1,5; отклонения от указанных значений не превосходят 0,1. Соответственно можно записать приближенное «эмпирическое» соотношение
d
где d—размерность пространства.
2) Критическая доля разрешенного объема vc, определяемая следующим образом. Пусть / есть доля объема, занимаемая сферами, описанными вокруг каждого узла решетки и радиус которых равен половине расстояния до ближайшего узла. Величина, vc есть доля объема, занятая сферами, описанными около открытых узлов, vc = fp^. Из табл. IV видно, что в двумерном случае vc — 0,45 ± 0,02, а в трехмерном случае vc = 0,15 ± 0,01.
Приближенная инвариантность величин vc и vc имеет место лишь для решеток одной размерности и при условии, что каждый узел связан лишь с г ближайшими соседями. При введении связей с более далекими соседями значения vc и vc, вообще говоря, меняются. Например, при введении связей с соседями второй координационной сферы значение vc возрастает для простой квадратной решетки от 0,466 до 0,548, а для простой кубической решетки — от 0,160 до 0,192 [52]. В общем случае значения \с и vc оказываются зависящими от отношения радиуса п-й координационной сферы, внутри которой все узлы могут быть связаны с данным, к постоянной решетки*). Экстраполяция к случаю больших п дает значение vc, близкое к 4,5 в двумерном случае и к 2,7 в трехмерном случае (Н. Ф. Далтон, К. Домб, М. Ф. Сайкс, 1964).
*) При этом, разумеется, радиус п-й координационной сферы должен оставаться намного меньшим линейных размеров системы.
ПРИЛОЖЕНИЯ
369
Было отмечено также существование эмпирического соотношения
v* « 20,
справедливого для d = 2 и d = 3. Заметим, что экстраполированные к п -*¦ оо значения среднего числа связей на узел в пороговой точке близки к соответствующим величинам, полученным в задаче с хаотически расположенными в пространстве центрами (см. § IV. 9).
XII*. Квазиклассический расчет функции Грина для электрона в гладком гауссовом случайном поле
Настоящее приложение содержит квазиклассический расчет одночастичной запаздывающей функции Грина электрона Gr(x, х'; t — t') в гладком гауссовом случайном поле. Обозначим через Ui(x) гладкую случайную потенциальную энергию, отвечающую носителю заряда в /-й энергетической зоне полупроводника. Основные параметры, характеризующие статистические свойства случайного поля, суть фи — средний квадрат, (У/ — и средний квадрат напряженности соответствующего электрического поля 2\|)2i:
Фи = (uf)> ^ = у<(7^)2)- (XII. 1)
Здесь угловые скобки обозначают операцию усреднения (см. § II. 7).
Тогда основное условие гладкости гауссова случайного поля имеет вид (II. 8.2);
(XIL2)
Считая это условие выполненным для интересующей нас зоны с законом дисперсии Е;(р), запишем уравнение движения для G,(x, х'; t — t'):
id д°г (*. *'г ‘ ~ *1 _ (р) + и (х) j Gr (х> х/. t _ п =
= ~A6(t-i')d(x-x'). (XII. 3)
Переходя к фурье-образу Gr{x, х'; со) по формуле
ОО
Gr(x,x';t-t')= ^ d(oe~iu> ^t~t"lGr(x, х'; fi>), (XII. 4)
— ОО
получим из уравнения (XII. 3))
[А© - Et (- ih Vx) - U (x)J Gf (x, x'; ©) = - -?-6 (x - x'). (XII. 5)
Составляя уравнение движения относительно переменной х', получаем аналогично
[Й(в - Et (-ih Vx,) - и (х')] Gr (X, х'; ©) = - 6 (х - х'). (XII. 6)
В уравнениях (XII. 5) и (XII. 6) удобно перейти к новым переменным:
Г = х — х', R = y(x+x'). (XII. 7)
370
ПРИЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим случай простых квадратичных законов дисперсии:
Ес (Р) = P2/2mc> (XII. 8)
Ev(p) = -Eg-p!/2mv. (XII. 9)
Составляя полусумму и разность уравнений (XII. 5) и (XII. 6), имеем в новых переменных (XII. 7)
{Пш - О; (0) + + т[1) + V (R, г)]} Gr (R, г; о) = - (й/2я) 6 (г) (XII. 10)
И
j±-^-(VrVR)- t/(R + r/2) + С/ (R — r/2) j. Gr (R, r; co)=0. (XII. 11)