Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1
P2 Pl I I P2
I2 I I I1 I2
•
•
•
Рис. 2.16. Канторовское множество с тремя характерными масштабами длины.
зок, т.е. Ii + 212 = 1. Двум крайним отрезкам припишем меру р2, а среднему меру pi. Очевидно, что pi + 2р2 = 1. Мы также будем предполагать, что I2 > Ii и что p2/l2 > Pi/Ii-
На следующем этапе каждый из этих трех интервалов подразделяется на три более мелких интервала подобным же образом и т. д. В результате мы получим некоторое мультифрактальное множество. Поскольку оно расположено на исходном единичном отрезке, его фрактальная размерность Dq1 очевидно, равна 1. Кроме того, наиболее заселенные ячейки в нем стягиваются не к одной точке (как это было в предыдущих примерах), а к множеству точек с некоторой отличной от нуля фрактальной размерностью. Поэтому мы ожидаем, что в этом примере наименьшее значение ашin, т. е. D00 будет соответствовать величине /, отличной от нуля. Так как отрезки с наименьшей плотностью по-прежнему стягиваются в одну точку, мы ожидаем, что сктах = D-Q0 будет соответствовать величине / = 0.
Генератор нашего мультипликативного процесса определяется формулой (2.51) с т = 3. Поэтому уравнение для r(q) выглядит следующим образом (см. (2.53))
Гі(д,т) = ^ + 2^ = 1. (2.103)
п h
118 Для численного анализа этой формулы рассмотрим частный случай, когда l\ = Z2. Совместно с условием Zi+2^2 = 1 это дает Z2 = л/2 — 1 и Ii = 3 — 2л/2. В качестве вероятностей возьмем значения pi = 0.1 и р2 = 0.45. Тогда уравнение (2.103) превращается в квадратное для величины X = 12т и его неотрицательное решение дает нам величину T
q ln(pi/p2) + In Ul + [pi/plf - l) r(g) =--^->-. (2.104)
Отсюда естественным образом получаем спектр обобщенных фрактальных размерностей Dq. Он показан на рис. 2.17. Предельные значения Dq определяются формулами
D00 = amin = ^ и 0.9059, D^00 = скшах = ^^ и 1.306. (2.105) m I2 2 m I2
Функция мультифрактального спектра /(ск) для этого множества показана на рис. 2.18. Как и предсказывалось выше, ее максимальное значение соответствует величине Dq = 1, а
/(«min) = -^- 0.7864 /0,
InZ2
так что левая часть этой кривой напоминает крючок.
Рис. 2.17. Спектр обобщенных фрактальных размерностей для неоднородного канторовского множества, определяемого уравнением (2.103), с pi = 0.1, р2 = 0.45, I2 = л/2 — 1 и /i = 3 — 2л/2.
Аналогичную форму принимает функция мультифрактального спектра для неоднородного треугольника Серпинского (см. рис. 2.1),
119 с которого мы начали свое изложение про мультифракталы. Зависимость Dq для этого случая определяется формулой (2.44) и показана на рис. 2.6. Зная Dq, можно таким же способом, как и ранее, построить график функции f(a). Он показан на рис. 2.19.
Рис. 2.18. Функция f(a) для меры, определяемой уравнением (2.103) с pi = 0.1, р2 = 0.45, I2 = д/2 — 1 и /i = 3 — 2л/2.
Рис. 2.19. Функция f(a) для неоднородного треугольника Серпинского, изображенного на рис. 2.1.
Видно, что в этом случае зависимость f(a) тоже напоминает крючок, однако обращенный в другую сторону. Соответственно, здесь отлична от нуля фрактальная размерность наиболее разреженной области
/(ашх) = I- (2.106)
120 Как нетрудно видеть, эта область расположена на стороне треугольника ВС и ее прообразах.
2.3 Применение теории мультифракталов в физике 2.3.1 Переход Андерсона
Концепции мультифрактального анализа широко применяются в настоящее время в физике неупорядоченных систем при изучении так называемого перехода Андерсона 15. При этом решается квантово-механическая задача о движении одной частицы массы т в случайном потенциале V(r). Уравнение Шредингера для волновой функции ф(г) имеет стандартный вид
П2
- —Аф(г) + V(rU(r) = Еф( г). (2.107)
2 т
В зависимости от энергии E и степени беспорядка все возможные состояния частицы Фе(г) делятся на два класса: локализованные и делокализованные. Локализованные состояния обладают волновой функцией, экспоненциально спадающей с расстоянием
\ф(г)\ ~ехр(-|г-г0|/?), (2.108)
где ? — радиус локализации, зависящий от энергии Е. Делокализованные состояния, напротив, распределены по всему объему образца. Одним из простейших примеров делокализованного состояния в квантовой механике является плоская волна, характеризующая движение частицы с заданным импульсом Tik
ф(г) ~ exp(ikr). (2.109)
Энергия Ec, отделяющая локализованные состояния от делокализо-ванных, называется порогом подвижности. Ее положение зависит от массы частицы и степени беспорядка в системе. Примечательно, что радиус локализации ? на пороге подвижности обращается в бесконечность
-—. (2.110)
s IE- Ecv ;
Показатель степени v в этой формуле называется критическим индексом радиуса локализации.
15
Часто его также называют переходом металл-диэлектрик.
121 Переход от локализованных состояний к делокализованным при изменении какого-то параметра в системе (энергии, силы беспорядка) и называется переходом Андерсона. Величина ? существует и по другую сторону перехода, на его металлической стороне. Только здесь она имеет физический смысл длины корреляции, которая также обращается в бесконечность в точке перехода. По этой причине иногда в литературе переход Андерсона именуют квантовым фазовым переходом.
