Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Интенсивные численные исследования последних лет показали, что в точке перехода Андерсона (т. е. точно при энергии Ec) волновые функции являются делокализованными и имеют сложную самоподобную фрактальную (а точнее, мультифрактальную) структуру. Энергия Ec (а соответственно, и точка перехода) определена, строго говоря, для бесконечного образца. Если же образец имеет конечные (но достаточно большие) размеры L, то переход является "размытым" и осуществляется в узкой полосе энергий вблизи энергии Ec такой, что выполняется условие
т.е. \Е - Ес\ < L~1/u. (2.111)
Для формулировки условия локализации существуют разные приемы. Один из них — это подсчет так называемого обратного числа заполнения (inverse participation number). Оно характеризует обратную величину объема, занимаемого волновой функцией в пространстве, и совпадает со вторым моментом плотности вероятности обнаружения частицы в той или иной точке образца
M2 = J А|^(г)|4. (2.112)
Интеграл в этой формуле берется по всему объему образца. Величина d определяет размерность пространства, в котором задана волновая функция. Первый момент, очевидно, всегда равен 1, так как соответствует вероятности обнаружения частицы во всем образце
M1 = J A|^(r)|2 = 1 (2.113)
и отражает собой известное правило нормировки волновых функций.
Для локализованного состояния с учетом условия нормировки (2.113) огибающая волновой функции может быть записана в виде
\ф(т)\ «rd/2exp(-|r-r0|/C). (2.114)
122 Поэтому для него щ й г<! (2 115)
и не завистит от размера образца L.
Напротив, для делокализованного состояния типа плоской волны
ф(г) W L-dZ2 exp(ikr) (2.116)
величина M2 зависит от размера образца L степенным образом
M2 и L~d. (2.117)
В этом случае волновая функция равномерно заполняет весь объем образца.
Если же делокализованное состояние имеет фрактальную структуру, то для него естественно ожидать следующей зависимости второго момента M2 от размера L:
M2 ~ L~d\ О <D2<d. (2.118)
Показатель степени D2 в этой формуле называется корреляционной размерностью данной волновой функции. Неравенство D2 < d означает, что объем, который занимает эта волновая функция, составляет при L —> ос бесконечно малую часть полного объема образца Ld.
Именно такое поведение второго момента для волновых функций в точке перехода Андерсона и было обнаружено в численных экспериментах. Они показали, что квадрат модуля волновой функции состоит из редких всплесков в пространстве с амплитудой, намного превышающей средний уровень. Всплески большой амплитуды окружены всплесками с меньшей амплитудой и т. д., формируя тем самым некую самоподобную фрактальную структуру.
Аналогичным образом можно проанализировать и более высокие моменты квадрата модуля волновой функции. Оказалось, что и они в точке перехода степенным образом зависят от размера образца
Mq = J ddг \^{r)\2q ~ ІГ(«"1)2Ч (2.119)
Величины Dq называются обобщенными фрактальными размерностями волновой функции. Очевидно, что величина Dq = (/, поскольку нулевой момент Mq в этом случае попросту совпадает с объемом образца Ld. Все же остальные обобщенные фрактальные размерности подчиняются неравенствам
d = Dq > D1 > D2 > D3 > ... > D00 ф 0. (2.120)
123 Эти неравенства означают, что волновая функция в точке перехода Андерсона фактически представляет собой мультифрактал. Носителем этого мультифрактала является все (/-мерное пространство, поскольку волновая функция во всех точках образца (за исключением множества меры нуль) отлична от нуля. Поэтому размерность Dq = d. Величина Di называется информационной размерностью волновой функции. Она определяется формулой
Мы видим, что имеет место определенная аналогия задачи о геометрии волновой функции в точке перехода Андерсона с тем, что мы уже рассматривали в предыдущих параграфах, изучая мультифрак-талы. Эта аналогия становится еще более очевидной, если мы отождествим вероятность pi, входящую в формулу (2.3) для статсум-мы Z(q,e), со значением квадрата модуля волновой функции \ф(гі)\2 в некоторой точке Ti. Величине є в этом случае соответствует малый параметр 1/L. Суммирование по і в формуле (2.3) надо при этом заменить на интегрирование по г.
Более строго эту процедуру можно выполнить следующим образом. Для этого надо весь объем образца V = Ld разбить на малые ячейки ГIi размером є L. Число этих ячеек N(є), очевидно, равно (L/e)d. После этого величину pi надо отождествить с вероятностью обнаружения частицы в ячейке с номером і
Далее величина статсуммы Z(q,e) определяется обычным образом, как в (2.3), в виде суммы по этим ячейкам.
Мультифрактальная геометрия волновой функции означает, что при L —у оо и є —у О (порядок этих операций важен!) имеет место скейлинг
Такой подход позволяет определить спектр обобщенных фрактальных размерностей Dq для одной конкретной волновой функции. При этом
InL
(2.121)
(2.122)
(2.123)
124 анализируется, как при заданном значении L и реализации беспорядка в системе статсумма Z(q,e) изменяется с размером ячейки є. Из физических соображений следует, что размер ячейки, будучи малым, должен тем не менее превышать характерное межатомное расстояние.
