Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Найденная таким образом зависимость Dq для волновой функции в точке Андерсоновского перехода имеет вид, аналогичный тому, что мы уже видели на примерах неоднородного канторовского множества на рис. 2.5 и рис. 2.9. Однако, поскольку эта волновая функция задана в (/-мерном пространстве, всегда выполняется равенство Dq = d.
Зная функцию r(q) = (q — 1 )Dq, можно определить распределение сингулярностей мультифрактала, т.е. функцию /(ск). Численные расчеты показывают, что она тоже имеет вид кривой с максимумом, подобный тому, что изображен на рис. 2.14 и рис. 2.15. Максимум этой функции, т.е. значение /(ckq), всегда равно d.
Функция /(ск) играет в теории перехода Андерсона весьма важную роль. С одной стороны, она представляет собой спектр фрактальных размерностей мультифрактала, каковым является критическая волновая функция. С другой стороны, эта же величина определяет статистику значений волновой функции в неупорядоченной системе. Действительно, примем для простоты размер ячейки є = 1. Тогда вероятность нахождения частицы в ячейке с номером і определяется формулой а.
Pi ~ (j) , (2.124)
где L — размер образца в единицах є. Эту же формулу можно переписать и по-другому ,
«І « -Щ. (2.125)
In L
Вероятность заполнения ячейки pi представляет собой случайную величину. Такой же случайной величиной является, очевидно, и показатель степени CKj. Однако распределение значений ск для мультифрактала известно. Оно определяется формулой (2.66)
/ 1 \ -/(")
п(а) « ( -J = ехр [/(ск) InL]. (2.126)
Как мы знаем, вблизи своего максимума при некотором значении CK0 функция /(ск) может быть аппроксимирована параболой
/(ск) =d-7}(a-a0)2, (2.127)
125 где г] = f"(ao)/2. Поэтому при больших L распределение п(а) принимает вид
п(а) ~ ехр {-г} InL(a - а0)2]. (2.128)
Учитывая, что а = — lnp/InL, получаем отсюда функцию распределения вероятностей pi
2
Vip) ~ ехр
(2.129)
Это есть так называемое лог-нормальное распределение. Поскольку вероятности pi характеризуют величину |?/>(гг)|2, мы приходим к результату, что квадрат модуля критической волновой функции распределен лог-нормально по объему образца. Этот важный в практическом отношении вывод является очевидным следствием мультифрактальной структуры волновой функции в точке перехода.
Закону лог-нормального распределения подчиняются и другие физические величины, как, например, проводимость. Они вблизи от перехода Андерсона и в самой точке перехода (в отличие от ситуации вдали от перехода в хорошем металле) сильно флуктуируют от образца к образцу. Эти флуктуации носят название мезоскопических и интенсивно изучаются в последние годы в физике неупорядоченных систем.
Концепция мультифракталов оказалась довольно плодотворной и в других областях физики. Например, при изучении сильно развитой турбулентности, неоднородных звездных скоплений, диффузионно-ограниченной агрегации, процессов разрушения вещества, строении крови и т. д. Ее польза со временем становится все более несомненной и, может быть, именно на этом пути нас ждут новые и интересные открытия в будущем.
Литература
[1] Mandelbrot В. В., The fractal geometry of nature, San Francisco, Freeman, 1982.
[2] Пайтген X.-O., Рихтер П. X., Красота фракталов, M.: Мир, 1993.
[3] Шустер Г, Детерминированный хаос, M.: Мир, 1988.
[4] Мун Ф., Хаотические колебания, M.: Мир, 1990.
[5] Gleick J., Chaos: Making a New Science, Viking Penguin, 1987.
[6] Barnsley M., Fractals Everywhere, Academic Press, Boston, 1988.
[7] Фракталы в физике, M.: Мир, 1988.
126 [8] Федер E., Фракталы, M.: Мир, 1991.
[9] Смирнов Б. M., Физика фрактальных кластеров, M.: Наука, 1991.
[10] Карпов В.Г., Субашиев A.B., Что такое фракталы? ЛПИ, 1989.
[11] Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д., Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика, Успехи физических наук, т. 146, вып. 3, с. 493, 1985.
[12] Соколов И. M., Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания, Успехи физических наук, т. 150, вып. 2, с. 221, 1986.
[13] Олемской А. И., Флат А. Я., Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды, Успехи физических наук, т. 163, № 12, с. 1, 1993.
[14] Зосимов В. В., Лямшев JI. M., Фракталы в волновых процессах, Успехи физических наук, т. 165, №4, с. 361, 1995.
[15] Жиков В. В., Фракталы, Соросовский образовательный журнал, №12, с. 109, 1996.
[16] Вишик М. И., Фрактальная размерность множеств, Соросовский образовательный журнал, №1, с. 122, 1998.
Страницы в Интернете
1. http://home.ural.ru/~shabim/fractals/index.htm
2. http://chat.ru/~fractals/index.htm
3. http://www.visti.net/cplusp/а11_96/6п96у/6n96yla.htm
4. http://www.iph.ras.ru/~mifs/rus/danilov.htm
5. http://www.geocities.com/CapeCanaveral/2854/
6. http://archives.math.utk.edu/topics/fractals.html
7. http://www.cosy.sbg.ac.at/rec/ifs/f-faq.html
8. http://www.cosy.sbg.ac.at/rec/ifs/index.htm
9. http://www2.vo.lu/homepages/phahn/fractals/barnsley.htm
10. http://www.swin.edu.au/astronomy/pbourke/fractals/randomifs/
