Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
динамической системы (1.1) на сферу Пуанкаре.
На рис. 3 показано отображение плоскости х, у на нижнюю половину сферы S2
с помощью лучей, проходящих через центр сферы (точка плос- Рис. 3.
Отображение плоско-кости и ее образ на сфере лежат на ети на половину
сферы S2. одном луче). При этом отображении
бесконечно удаленные точки плоскости соответствуют экватору сферы. Таким
образом, вся плоскость х, у, пополненная бесконечно удаленными точками,
эквивалентна кругу с граничной окружностью.
Для получения подобного преобразования плоскости в аналитическом виде
можно использовать отображение обратных радиусов: (х, у) ->¦ (р, ф), где
р = г*1 - (х2 + г/2)~1/з, ф - arctg (у/х). При таком отображении
бесконечно удаленные точки плоскости переходят в точки окружности S1]: р
- 0, 0 ф 2я. Исследование системы (1.1) после преобразования в координаты
р, ф в окрестности бесконечно удаленной окружности S1 вполне аналогично
исследованию, описанному в п. II. Однако обычно, при исследовании
динамических систем (1.1) с полиномиальными правыми частями (Р (х, у) и Q
(х, у) - многочлены степени п), используется преобразование системы (1.1)
в проективные координаты z = 1/х, и = у/х и w = 1 /у, v = х/у (две
системы коорди-
46
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. I
нат z, и и w, и при и Ф 0, v Ф 0 эквивалентны). Бесконечно удаленным
точкам плоскости х,у в проективных координатах отвечает окружность S1,
покрытая двумя прямыми: z = О, - оо < < и <С+ иш - 0, - oo<i><C+oo-
Динамическая система
(1.1) после преобразования в проективные координаты z, и и замены времени
dxjdt. = хп~г принимает вид
z ~ -zP* (z, и), и Q* (z, и) - иР* (z, и), (1-13)
где функции
P*(z,u) = znP(±, ±) и <?*(*,к) = ^(т'т)
являются многочленами от переменных z, и степени не выше п. Очевидно, что
прямая z *= 0 является интегральной траекторией системы (1.13).
Исследование системы (1.13) в окрестности интегральной прямой z 0
(соответствующей бесконечно удаленным точкам плоскости х, у) вполне
аналогично исследованию, проведенному в п. II.
Отметим, что преимуществом проективных координат и координат (1.12) по
сравнению с координатами р, ср и полярными координатами г, ф является то,
что система (1.1) после преобразования в эти координаты по-прежнему имеет
полиномиальные по z, и (или по х, и) правые части.
IV. Критерии существования и отсутствия предельных циклов динамической
системы. Замкнутая неособая траектория системы
(1.1) называется циклом. Замкнутая траектория, очевидно, делит
плоскость я, у на две части - внутреннюю и внешнюю. Предельным циклом
называется изолированная замкнутая траектория. Все траектории
динамической системы (1.1) в окрестности изолированного цикла X при
некотором направлении времени стремятся к X. Предельный цикл называется
устойчивым, если все траектории системы (1.1) в его окрестности стремятся
к X при ? + оо,
и неустойчивым, если такое стремление реализуется при ? -> - оо.
Например, динамическая система
х -у - х (х2 + у2 - 1)(я2 + у2 - 4), у, = х - у (х2 + у2 - 1){х2 + у2
- 4)
имеет два предельных цикла, х2 + у2 = 1 и х2 + У2 - 4 (рис. 4), причем
внутренний цикл является неустойчивым, а внешний - устойчивым. Предельный
цикл X называется полуустойчивым, если с одной стороны плоскости
(например, с внешней по отношению к X) траектории стремятся к X при ? ->
+ оо, а с другой стороны - при t -- оо.
Доказательство существования или отсутствия предельных циклов является
наиболее трудной задачей двумерной качествен-
ДВУМЕРНАЯ КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
ной теории, для решения которой не существует универсального метода.
Однако для динамических систем специального вида известен ряд методов,
которые во многих конкретных задачах являются весьма эффективными.
Допустим, например, что траектории динамической системы (1.1) пересекают
некоторую замкнутую кривую X и входят внутрь области С/, ограниченной
этой кривой, причем в области U имеется единственная особая точка системы
(1.1), являющаяся отталкивающей. В этом случае в области U
Рис. 4. Поведение траекторий динамической системы в окрестности
предельных циклов.
существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл, точнее: число
устойчивых циклов в области U на единицу больше числа неустойчивых циклов
(если все циклы являются изолированными).
Для доказательства существования предельных циклов применяются методы
теории бифуркаций динамических систем [6, 34]. Например, устойчивый цикл
рождается из особой точки - фокуса, если при изменении параметров задачи
притягивающий фокус переходит в отталкивающий. Широко используется метод
малого параметра [33, 34, 37-41], дающий, в частности, достаточные
условия для существования предельных циклов динамических систем, близких
к гамильтоновым системам, у которых все траектории замкнуты.
Для доказательства отсутствия замкнутых траекторий (циклов) динамической
системы вида (1.1) во многих задачах эффективно применйм следующий
критерий Дюлака - ,Бендиксона. Если в некоторой области G существует
