Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
такая гладкая функция F (х, у),
18
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[гл. I
ЧТО
то в области G нет замкнутых траекторий системы (1.1), стягивающихся в
этой области в точку. Действительно, если бы такой цикл Z, ограничивающий
стягиваемую область s, существовал, то (по теореме Гаусса -
Остроградского)
§ [FP dy-FQ dx) = J (Ц?- +^-) dxdy > 0.
I S
Однако выражение слева на траектории (Z) системы (1.1) тождественно равно
0.
V. Исследование конкретного примера. В качестве иллюстрации применим
описанные выше методы для изучения следующей динамической системы:
X = -у3 (х2 - 1)(2 + ху), (1.15)
у = х3 (у2 - 1)(2 - ху).
Система (1.15) в конечной части плоскости х, у имеет девять особых точек:
Аг (-1, 1), А2 (1, 1), А3 (1, -1), А4 (-1, - 1),
_ л Вг Аг .
} f л ,0' \
) СО
>¦- \в* А3 ^3
Рис. 5. Пример динамической системы, у которой сепаратрисы четырех
неустойчивых (седловых) особых точек Af образуют цикл.
Дх(-2,1), Вя( 1,2), В3 (2, -1), 2?4(-1, -2), 01 (0, 0) (рис. 5). Каждая
особая точка At имеет собственные числа = -6,
ДВУМЕРНАЯ КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
19
%2 = 2, т. е. является неустойчивой (седловой). Каждая особая точка Вг
имеет собственные числа = -64, Х2 - -3, т. е. является притягивающим
узлом. Особая точка 02 (0" 0) является вырожденной (Ях = А,2 = 0).
Сепаратрисы неустойчивых особых точек At интегрируются в явном виде:
вдоль каждой сепаратрисы одна из координат х, у постоянна и равна +1 (см.
рис. 5). Имеется последовательность четырех сепаратрис: АгА2, А2А3, А3А±,
А^Аг, идущих из одной
Рио. 6. Полный фазовый портрет динамической системы (1.15).
особой точки Аг в другую и образующих замкнутую диаграмму. Траектория
системы (1.15), находящаяся внутри квадрата A 1А2А3А4 и начинающаяся
достаточно близко от его границы, будет сколь угодно долго двигаться
вдоль последовательности сепаратрис неустойчивых особых точек At. Тем
самым доказано наличие колебаний в динамической системе (1.15) при \х | <
1, | у I < 1. Проведенное рассуждение является простейшей иллюстрацией
метода сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы (см. §
4), который эффективно применйм при исследовании некоторых многомерных
динамических систем.
Для изучения вырожденной особой точки Ог (0, 0) преобразуем систему
(1.15) в полярные координаты г, ср (см. п. II). При этом вместо точки Ог
(0, 0) вклеивается окружность S1:^ - 0,
0 ф 2я (рис. 6). После замены времени dx/dt = г2 система
20
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. I
(1.15) в полярных координатах принимает вид
г = г (-sin 4<р -f г2 вхп22ф - -i- г4 sin4 2ф) ,
! (116) ф as - 2 + sin2 2ф + г2 sin 2ф (sin 2ф + cos 2ф) -
-jg- г4 sin2 2ф sin 4ф.
Система (1.16) на окружности S1 (г = 0) не имеет особых точек; окружность
S1 является замкнутой интегральной траекторией этой системы. Поэтому все
траектории системы (1.15) - (1.16) при г 1 совершают бесконечное число
оборотов вокруг особой точки Ох (0, 0).
Покажем, что все траектории динамической системы (1.15) внутри квадрата
Л1Л2^43Л4 при некотором направлении времени входят в особую точку Ои а
при противоположном направлении времени наматываются на сепаратрисный
цикл АгА2, А2А3, А3А±, А±Аг. Для этого достаточно доказать, что внутри
квадрата АгА2А3А4 (| х 1 < 1, | у | < 1) система (1.15) не имеет
замкнутых траекторий. Воспользуемся критерием Дюлака - Бендик-сона (см.
п. IV). Функция F = (х2 - 1)"х (у2 - I)"1, очевидно, регулярна внутри
квадрата. Для системы (1.15) получаем
dFP 9FQ ______ д4 У4 ^ п
дх ду 1 - х2 ' 1 - у2 ^
при | ж | < 1, | у | < 1, что и доказывает отсутствие замкнутых
траекторий.
Для исследования поведения траекторий динамической системы (1.15) на
бесконечности преобразуем эту систему в проективные координаты z - 1/х, и
- у/х и w - 1 /у, v = х/у (см. п. III). При этом преобразовании плоскость
х, у пополняется бесконечно удаленной окружностью, покрытой двумя
прямыми, z = 0 и w = 0. В координатах z, и после замены времени dxjdt =
х6 получаем динамическую систему
z = zu? (1 - z2)(u + 2z2), (1.17)
й = (и2 - z2)(-и + 2z2) + и4 (1 - z2)(u + 2z2).
Система (1.17) на приклеенной границе (z = 0) в области z > 0 (х 0) имеет
три особые точки (см. рис. 6): D2 (и = 1), D3 (и = = -1), С3 (м = 0) (и
три аналогичные точки Dly D4, Сг в области z 0 (х 0)). В особых точках
Z)2 и D3 система (1.17) имеет собственные числа = 1, Х2 = 2, т. е. эти
особые точки являются отталкивающими узлами. Особая точка С3 является
вырожденной (дополнительное исследование показывает, что особая точка С3
неустойчива). В проективных координатах w, v система (1.15) имеет
аналогичные особые точки С2 и С4.
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК
21
Полный фазовый портрет динамической системы (1.15) после разрешения
вырожденной особой точки Ог (О, 0) и пополнения плоскости х, у границей
на бесконечности показан на рис. 6*
§ 2. Метод исследования вырожденных особых точек динамической системы
I. Общая система обыкновенных дифференциальных уравнений, определенная
