Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
единственной альтернативой численных методов. При этом ряд важных
вопросов - в частности исследование общих свойств поведения решений для
всех значений параметров, или существование счетного множества решений,
обладающих каким-либо*:исключительным свойством,- во многих задачах
успешно решаются качественными методами и принципиально не могут быть
решены с помощью одних только численных методов исследования.
Задачи, рассматриваемые в данной книге, относятся как к общей теории
относительности, так и к классической ньютоновской теории. В главах II и
III проведено качественное исследование динамики во времени всех
однородных космологических моделей с гидродинамическим тензором энергии-
импульса материи (а также одной однородной космологической модели с
электромагнитным полем). В главах IV и V исследуется автомодельное
сферически-симметрично е движение самогравитирующего газа в общей теории
относительности и ньютоновской теории. Изучаемые автомодельные решения в
зависимости от значений параметров моделируют различные типы движения
газа при вспышках звездой при аккреции самогравитирующего газа на центр.
В главе У1^иссле-дуются автомодельные решения с вращением идеального
газа, в которых движение частиц газа является существенно трехмерным. В
главе VII изучаются "нелинейные колебательные режимы в классе движений
газа с однородной деформацией, моделирующие движение вращающихся газовых
туманностей.
Область применения изложенных в книге методов качественного исследования
многомерных динамических систем не ограничивается задачами астрофизики и
газовой динамики и может
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
быть расширена; примером этому является проведенное в главе VIII
исследование динамики возмущений известной вполне интегрируемой системы -
периодической цепочки Тода.
Разработка и применение методов качественного исследования многомерных
динамических систем для изучения однородной космологической модели IX
типа без движения вещества были начаты в 1971-1973 годах совместно С. П.
Новиковым и О. И. Богоявленским [12] и продолжены в дальнейшем автором
при изучении однородных космологических моделей с движением вещества,
движений газа с однородной деформацией, автомодельных движений
самогравитирующего газа и динамики возмущений периодической цепочки Тода.
Основные материалы монографии обсуждались со специалистами институтов
Академии наук СССР: ИТФ, МИАН, ИКИ,
ИПМ, ИТЭФ, ИГ СО АН СССР, и ГАИШ. Всем товарищам, принимавшим участие в
совместных дискуссиях, автор выражает глубокую благодарность.
Мне особенно приятно выразить искреннюю признательность члену-
корреспонденту АН СССР С. П. Новикову и члену-кор-респонденту АН СССР И.
М. Халатникову за полезные обсуждения результатов работы.
О. И. Богоявленский
ГЛАВА 1
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Основы качественной теории динамических систем были заложены
классическими работами Пуанкаре [1] и Бендиксона [2], выполненными в
начале XX века в связи с задачами небесной механики. В этих работах, в
частности, была создана в современном виде качественная теория двумерных
динамических систем, получившая в дальнейшем, начиная с работ А. А.
Андронова [3 -
6], важнейшее применение в радиофизике и теории колебаний. В задачах
газовой динамики двумерная качественная теория также имеет важное
применение, главным образом при изучении автомодельных решений [7].
Методы построения решений динамических систем в виде сходящихся степенных
рядов разрабатывались в многочисленных работах, начиная с [1, 8]; методы
отыскания асимптотик решений в окрестности вырожденных особых точек,
основанные на изучении некоторых "укороченных" систем и применении
многогранника Ньютона, развивались в работах [9]. Специальные классы
динамических систем, обладающие свойством грубости или структурной
устойчивости, активно исследовались в последние десятилетия в
многочисленных математических работах (см. [10, 11])*
В данной главе приводятся методы качественного исследования многомерных
динамических систем (см. работы [12 - 32]): метод максимально
невырожденной компактификации динамической системы, метод разрешения
вырожденных особых точек и метод сепаратрисной аппроксимации траекторий
динамической системы, которые применяются при дальнейшем изложении для
изучения конкретных задач астрофизики и газовой динамики.
§ 1. Необходимые сведения из качественной теории двумерных динамических
систем
Качественная теория автономных динамических систем на. плоскости изучает
динамику траекторий систем двух дифференциальных уравнений:
= У), ^^y = Q{x,y), (1.1)
предельное движение траекторий при + оо и характер раз-
10
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. I
биения плоскости х, у на ячейки, в каждой из которых поведение траекторий
системы (1.1) качественно одинаково. Основой качественного исследования
динамической системы (1.1) является изучение ее особых точек (положений
равновесия, или точек покоя) (х01 уо), в которых Р (х0, уо) = Q (.Хо, уо)
