Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Автомодельные решения со сходящимися ударными волнами 231
Г л а в а VI. Автомодельное вращение идеального газа..............
235
§ 1. Определение автомодельного вращения идеального газа 235
§ 2. Алгебраические интегралы автомодельного вращения идеального
газа................................................. 237
§ 3. Точные автомодельные решения степенного вида . . . 242
§ 4. Исследование динамической системы....................... 244
§ 5. Автомодельный разлет вращающегося газа.................. 248
§ 6. Некоторые автомодельные решения при у ~ 2............... 254
Глава VII. Динамика газового эллипсоида....................... 260
§ 1. Уравнения движения негравитирующего газового эллипсоида
....................................................... 261
§ 2. Колебательный режим расширения вращающегося газового облака в
вакуум......................................... 268
§ 3. Исследование одной задачи в теории мелкой воды .... 274
§ 4. Уравнения движения гравитирующего газового эллипсоида
....................................................... 276
§ 5. Преобразование гамильтоновой системы.................... 279
§ 6. Колебательный режим движения с отрицательной энергией 282
§ 7. О невозможности коллапса гравитирующего газового эллипсоида при
наличии вращения газа........................... 287
огЯавЛеййё 5
§8. Колебательный режим движения с положительной энергией 2S0
§ 9. Заключительные замечания....................... .... 296
Глава VIII. Динамика возмущений периодической цепочки Тода 300
§ 1. Гамильтоновы возмущения цепочки Тода................300
§ 2. Сепаратрисная аппроксимация колебательного режима 301
§ 3. Гамильтоновы системы, связанные с простыми алгебрами
Ли................................................... 305
§ 4. Нелинейные колебательные режимы в системах гидродинамического
типа......................................... 309
Литература......................................................... 314
ПРЕДИСЛОВИЕ
Однородные космологические модели, автомодельные движения
самогравитирующего газа и движения газа с однородной деформацией имеют
важное применение в теории эволюции Вселенной, в теории взрывов звезд,
теории образования галактик, пульсаций переменных звезд и др. Уравнения
общей теории относительности и ньютоновской газовой динамики для
перечисленных трех классов решений сводятся к системам конечного (но
достаточно большого) числа обыкновенных дифференциальных уравнений.
Возникающие таким образом многомерные динамические системы в последние
два десятилетия активно изучаются с помощью традиционных аналитических, а
также численных методов. На основе этих методов были установлены важные
режимы динамики некоторых решений - в том числе колебательный режим
поведения метрики пространства-времени вблизи космологической
сингулярности, автомодельное движение самогравитирующего газа с ударной
волной и расширяющейся полостью внутри газа, моделирующее вспышку звезды,
коллапс пылевого самогравитирующего эллипсоида в диск и др. Однако
изучаемые многомерные динамические системы настолько сложны, что полное
исследование всех режимов динамики решений с помощью известных
традиционных аналитических методов не представляется возможным. Поэтому
особую актуальность приобретает разработка эффективных методов
качественного исследования многомерных динамических систем и применение
этих методов для решения задач астрофизики и газовой динамики, которые не
были ранее решены традиционными методами.
В монографии проводится детальное исследование однородных космологических
моделей, автомодельных движений самогравитирующего газа и движений газа с
однородной деформацией на основе методов качественной теории многомерных
динамических систем.
Основные применяемые нами методы - метод максимально невырожденной
компактифи^ации динамической системы, метод разрешения вырожденных особых
точек и метод сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической
системы, изложен-
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
ные в главе I,- являются обобщением и модификацией в конкретных
многомерных задачах классических методов качественной теории двумерных
динамических систем, созданных в начале XX века Пуанкаре и Бендиксоном.
Метод максимально невырожденной компактификации динамической системы,
использующий разрешение вырожденных особых точек, позволяет исследовать
поведение решений при предельных значениях параметров - например, при
больших значениях энергии или некоторых фазовых координат, а также в
окрестности различных сингулярностей.
Метод сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы
позволяет детально исследовать сложные нелинейные режимы динамики
решений. Этот метод приводит к более полным и строгим результатам, чем
традиционный метод сшивки приближенных решений из последовательных
отрезков, на которых отдельные параметры предполагаются пренебрежимо
малыми. В целом при изучении неинтегрируемых многомерных динамических
систем методы качественного исследования являются по существу
