Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
в фазовом пространстве переменных хх, . . . . . ., хп, имеет вид
В дальнейшем всегда предполагается, что система (2.1) является автономной
системой, т. е. правые части /* не содержат времени t. Любая неавтономная
система сводится к виду (2.1) после введения новой переменной хп+1 = t:
dxn+x/dt = 1. Если первоначальная система дифференциальных уравнений
содержала производные по t более высокого порядка i), . . ., у(кК то
такая система сводится к виду (2.1) с помощью введения новых переменных
z\ = у, . . я*-! = y^-V. Часто используются также дру-
гие способы преобразования системы к виду (2.1). Например, во многих
задачах изменение параметров во времени определяется некоторым принципом
наименьшего действия:
Поэтому первоначальные уравнения являются уравнениями второго порядка и
имеют лагранжев вид:
Для преобразования лагранжевой системы (2.3) к виду (2.1) наиболее удобно
использовать преобразование Лежандра: pt = дЫдрь. В 2я-мерном фазовом
пространстве (дх, . . ., qn, рг, . . ., рп) система (2.3) принимает
гамильтонов вид:
и, следовательно, является частным случаем систем вида (2.1).
Размерности фазового пространства хг, . . ., хп динамических систем,
возникающих в задачах астрофизики и газовой динамики, могут быть
достаточно большими. Например, динамические системы, описывающие наиболее
общие однородные космологиче-
ti
(2.2)
U UJLi ___________ U±j . _____ м
dt дц dqi ' 1
d dL dL
(2.3)
\
П
(2.4)
22
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. I
ские модели в общей теории относительности, определены в 12-мерном
фазовом пространстве - в число координат х% входят шесть компонент
метрики gtj (i, / = 1,2,3) и шесть соответствующих импульсов pij.
Динамические системы, описывающие автомодельные решения в газовой
динамике (с учетом ньютоновского тяготения), определены в четырехмерном
пространстве компонент скорости, массы, плотности и давления газа.
Движения газа с однородной деформацией описываются гамильтоновой системой
в 18-мерном фазовом пространстве, а для систем гидродинамического типа
размерность фазового пространства может быть сколь угодно большой.
Переменная t в системе вида (2.1) может иметь различный физический смысл:
в различных задачах это может быть как время, так и некоторая комбинация
времени и пространственных координат. В данной главе мы, отвлекаясь от
первоначального смысла переменной t, будем для простоты называть ее
временем.
Для многих динамических систем вида (2.1), возникающих в задачах
астрофизики и газовой динамики, правые части (/*) являются рациональными
функциями своих аргументов хг, . . ., хп. В этих случаях функции f\ после
приведения к общему знаменателю принимают вид ft = Ft/F, где Ft и F -
некоторые многочлены от хъ . . ., хп. Часто бывает удобно преобразовать
систему с помощью замены времени t -> т:
dx 1
dt F fo, . . . , хп)
(2.5)
в систему, имеющую вид
dx
dx
' = Fi (*i, • • • , xn), (2.6)
где все Ft являются многочленами. Преобразование (2.5) устраняет
сингулярности системы (2.1), в которых функция F = 0. Обычно используются
замены (2.5) вида dx/dt = 1/ | F |, не меняющие направления времени, но в
некоторых задачах, например при исследовании автомодельных решений,
необходимо использовать также немонотонную замену времени (2.5).
II. Точка (я(r), . . ., Хп) называется особой точкой (или точкой покоя)
динамической системы (2.6), если в этой точке все функции Fi (#?, . . .,
Хп) = 0. В этом случае система (2.6) имеет следующее простое решение: xt
(t) = хЬ Особым точкам системы (2.6) часто отвечают важные нестационарные
решения изучаемой задачи (обычно имеющие степенной вид), поскольку
функции Xi являются, как правило, некоторыми комбинациями физических
параметров, которые по отдельности изменяются при изменении t. Нахождение
всех особых точек системы (2.6) и отвечающих им реше-
§ 2] МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК 23
ний сводится, таким образом, к решению системы из п алгебраических
уравнений Ft (хг, . . хп) = 0.
Рассмотрим в особой точке (#J, . . х°п) характеристическую матрицу
системы (2.6): А\ = dFi/dxj. Характеристические корни этой матрицы, т. е.
п корней Хх, . . ., Хп уравнения
dF
det -^(x\) - Xb\
= 0, (2.7)
называются собственными числами системы (2.6) в особой точке (ж?, . .
Хп). Особая точка называется невырожденной, если в этой точке все
собственные числа Л* имеют ненулевые вещественные части: Re Xt Ф 0.
Наряду с системой (2.6) рассмотрим также ее линейную часть:
ЧГ = S тг ^ '¦ ¦ ¦ ' to - *")• (2-8)
/=1 0
Справедлива следующая важная теорема (см. [42]): Если особая точка (xl, .
. ., Хп) является невырожденной, то существует некоторое непрерывное и
взаимно-однозначное преобразование окрестности этой точки, которое
переводит траектории системы (2.6) в траектории системы (2.8). Таким
образом, качественное поведение системы (2.6) в окрестности невырожденной
особой точки эквивалентно поведению ее линейной части.
Пусть (?[), . . ., (?**) - собственные векторы матрицы А\ =
