Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
= 0.
I. Классификация невырожденных особых точек [33-36]. Важнейшими
характеристиками особой точки (х0, у0) являются ее собственные числа (или
собственные числа системы (1.1) в этой особой точке), которые
определяются как корни следующего характеристического многочлена:
det
рх (*о' Уо) " к К (*о' Уо)
Q'x (*<р Уо) Qy (*<>' У о) - х
= № - оХ + \ = 0. (1.2)
Здесь штрих означает частное дифференцирование по соответствующей
переменной; в дальнейшем предполагается, что все встречающиеся функции
являются бесконечно дифференцируемыми. Собственные числа Я1? Я2 являются
инвариантами особой точки (я<ъ Уо) и не меняются при любой регулярной (в
точке (х0, у0)) замене координат х, у. Особая точка (я0, у0) называется
невырожденной, если Re Ф 0, Re Х2 Ф 0.
Отдельные траектории системы (1.1) могут при ?-*- + оо или ?-*- - сю
входить в особую точку (х0, у о), касаясь некоторых направлений к - (кхч
ку). Эти направления являются собственными векторами характеристической
матрицы системы (1.1) в особой точке (х0, у о) (см. (1.2)). При Ф Х2
имеются два собственных вектора, их угловые коэффициенты к = ку/кх
следующим образом выражаются через собственные числа:
А,! - р' (х0, у0) (^0* У о) /л оч
к\ =-----;--------- , к2 =-----;--------- . (1.3)
Ру (*о> Уо) Ру (*о> Уо)
Поведение траекторий системы (1.1) в малой окрестности невырожденной
особой точки (я0, у о) качественно эквивалентно поведению траекторий ее
линейной части:
? = Рх (х0, у0)(х - х0) + Ру (х0, у0)(у - Уо), у = Qx {х0, Уо){х - Х0) +
Qy (х0, уо)(у - Уо)-Линейная система (1.4) легко интегрируется в явном
виде: х-хо-Re (C^+Ctf^1), у-y0=Re {CJc^+C^k^). (1.5)
Полученные формулы позволяют изобразить графически качественное поведение
траекторий системы (1.1) в окрестности особой точки (х0, у0) (т. е.
нарисовать фазовый портрет динамической системы) .
ДВУМЕРНАЯ КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
И
С помощью линейной замены координат система (1.1) в окрестности
невырожденной особой точки (ж0, у0) приводится, в зависимости от значений
собственных чисел Я1? к одному из следующих канонических видов (в новых
координатах и, v особая точка (х0, г/о) переходит в точку (0, 0), функции
ср (гг, и), г|) (гг, у) в окрестности точки (0, 0) являются малыми
второго порядка):
1. Собственные числа действительны и различны (ХгфХ2). Система имеет
канонический вид:
и = Х±и + ф (гг, и), и = Х2и + %|) (гг, v). (1.6)
2. Собственные числа равны (Ях = К2 = К). Система имеет канонический
вид:
й = %и + ср (и, v), v = kv \ш \|) (гг, и), (1.7)
где jx - вещественный параметр, который можно считать нулем или единицей.
3. Собственные числа являются комплексно-сопряженными
- а + ф, Х2 = а - i$, а^О, р Ф 0). Система имеет канонический вид:
ii = аи - $v у (и, v), v = $и + аи + а|) (гг, v). (1.8)
Приведем классификацию невырожденных особых точек, основанную на
указанных канонических видах динамической системы (соответствующие
фазовые портреты динамической системы представлены на рис. 1 в исходных
координатах я, у).
1. Узел (собственные числа Я1? К2 вещественны и одного знака).
а) Невырожденный узел (А,х Ф Я2)- Узел называется притягивающим
(устойчивым), если Х2 << 0, в этом случае все траекто-
рии в окрестности особой точки (х0, у0) при ?->- оо входят в эту особую
точку, при этом все траектории, кроме двух, касаются собственного
вектора, отвечающего минимальному по модулю собственному числу, а две
исключительные траектории касаются второго собственного вектора (см. рис.
1, а). Узел называется отталкивающим (неустойчивым), если К2 0,
соответствующий фазовый портрет получается из рис. 1, а обращением
направления времени ?.
б) Вырожденный узел - К2 = А,, в канонической форме
(1.7) параметр \л Ф 0). При X < 0 (притягивающий узел) все траектории в
окрестности особой точки (,х0, у0) при t-> оо входят в особую точку,
касаясь единственного собственного вектора (см. рис. 1, б). При X 0 узел
называется отталкивающим.
в) Дикритический узел (A,x = %2 = A,, jx = 0). При к << 0
(притягивающий узел) все траектории в окрестности особой точки (z0, уо)
при tоо входят в точку (яо, у0), касаясь произвольных направлений (см.
рис. 1, в), причем каждого направления касает-
12
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. I
ся точно одна траектория. Случай X > О (отталкивающий узел) описывается
аналогично при обращении времени.
2. Седло (собственные числа вещественны и имеют противоположные знаки:
Кг <0, К2 0). Фазовый портрет динамической
Рис. 1. Фазовые портреты динамической системы в окрестности невырожденных
особых точек: а) невырожденный узел, 6) вырожденный узел, в) дикри-
тический узел, г) седло, д) фокус (р > 0), е) фокус (Р < 0).
системы в окрестности седла показан на рис. 1, г. Седловая особая точка
является неустойчивой при любом направлении времени. Четыре
исключительные траектории, входящие при ?->4- оо или t-> - оо в эту
особую точку (см. рис. 1, г), называются сепаратрисами седла.
§1]
ДВУМЕРНАЯ КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
