Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
%
дят в точки с координатами (ууг) = аj, xt = 0). Таким образом, особой
точке (0, . . ., 0) в координатах Vt (2.11) отвечает целая гиперплоскость
Lt: xt = 0. Отметим, что на каждой прямой, проходящей через точку (0, . .
., 0), лежат два луча, входящие в точку (0, . . ., 0) с противоположными
направлениями. Конечные
х) При изучении конкрегных многомерных динамических систем метод
разрешения вырожденных особых точек независимо от совместной работы
автора и С. П. Новикова 1973 г. [12] применялся также в работах 1974 г.
[43, 44], посвященных исследованию движения четырех притягивающихся цо
закону Ньютоца масс на прямой-
26
МЕТОДЫ качественного исследования
[ГЛ. I
точки двух таких лучей в координатах (2.11) отождествляются. Это
отождествление не всегда удобно, и для того, чтобы его избежать, вводятся
две системы координат Vv\ и Fi, в соответствии со знаком координаты xt.
Все 2п систем координат Vf1 покрывают преобразованное фазовое
пространство Хг, которое взаимнооднозначно отображается на исходное
фазовое пространство X, кроме особой точки (0, . . ., 0). Особой точке
(0, . . 0) на мно-
гообразии Хг отвечает (п - 1)-мерная сфера S71"1, покрытая в локальных
картах Vi1 гиперплоскостями bf1 (xt = + 0). Если использовать только
локальные карты F*, то на вклеенной вместо особой точки (0, . . 0)
(п - 1)-мерной сфере Sп~1 противополож-
ные точки окажутся отождествленными, т. е. вместо особой точки (0, . . .,
0) будет вклеено проективное пространство ЯРп~г. В этом случае
проведенное преобразование фазового пространства называется в
алгебраической геометрии а-процессом.
После преобразования системы (2.6) в локальные координаты Vi (2.11)
получаем следующую систему:
У} - - {F 3 {y&i, ... упх{) - yjFi {угхь ... ,ХЬ ..., Уп*г)),
¦ , ¦ (2.12)
Xi Fi (l/i#j, . • ., Xi, . . ., y<nXi)i ] 1, . . ., 72, ] =7^= i.
Предположим, что в вырожденной особой точке (0, . . ., 0) разложение
правых частей системы (2.6) - многочленов Ft - начинается с членов
степени к 1 (для -дальнейших построений достаточно, чтобы функции Ft в
окрестности особой точки (0, . . . . . ., 0) представлялись сходящимися
степенными рядами). В этом случае из правых частей системы (2.10) можно
вынести общий множитель После замены времени
^.=|4-1| (2.13)
система (2.12) принимает вид
----- * i Vtfl* • • • * • • • " Ип)-Vi* i Vtfli • • •
" "'i* • • • " УШУ
(2.14)
~~m~i Рj (?/l" • • * > • " Уп) У3Р1 (2/li • • • 1 • • •
" Уп)>
_ v -d? = XiPi(yi' • .*1. •• • . 0n).
где Pj = sign {xf^-Fj/xj. Таким образом, правые части преоб-разованной
системы (2.14) по-прежнему являются многочленами. Гиперплоскость Li1 (xt
= ±0) является инвариантным многообразием системы (2.14). Поэтому вся (п
- 1)-мерная сфера *Sn_1, вклеенная в результате проделанных
преобразований вместо особой точки (0, . . ., 0), является инвариантным
многообразием ди-
g 2] МЕТОД ЙССЙЕДОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ОСОБЫХ ТО^ЕК 2?
намической системы (2.6) после преобразования на многообразие XL и
надлежащих замен времени типа (2.13).
Динамическая система (2.14) на инвариантной гиперплоскости xt = 0, вообще
говоря, имеет ряд новых особых точек. Если среди этих особых точек есть
невырожденные особые точки, то их исследование дает важную информацию о
поведении траекторий исходной системы (2.6) в окрестности вырожденной
особой точки (0, . . .
. . ., 0). Например, сепаратрисы невырожденных особых точек, не лежащие
целиком в плоскости xt = 0, определяют траектории системы (2.6), входящие
в точку (0, . . ., 0). Если система (2.14) на гиперплоскости xt = 0 имеет
вырожденные особые точки, то в этих особых точках следует повторить все
проделанные выше преобразования вида (2.11), и т. д.
В важном частном случае, когда многочлены Ft являются однородными
многочленами степени к (система (2.6) инвариантна относительно группы
масштабных преобразований), уравнение
(2.14) для координаты xt отделяется, т. е. порядок системы (2.6) при
преобразовании в координаты (2.11) понижается на 1. В этом случае
динамика системы (2.6) полностью определяется динамикой системы (2.14) на
сфере S4'1, вклеенной при преобразованиях
(2.11) вместо вырожденной особой точки (0, . . ., 0).
Отметим, что динамическая система на инвариантной плоскости xt = 0 часто
оказывается существенно проще исходной динамической системы (например, за
счет понижения порядка). Поэтому исследование системы (2.14) при xt = 0
обычно дает гораздо большую информацию, чем простое исследование
невырожденных особых точек.
В тех случаях, когда динамическая система (2.6) обладает какой-либо
симметрией, например, записывается в тензорном виде (как в теории
однородных космологических моделей), для разрешения вырожденных особых
точек удобно использовать сферическую систему координат:
уi = xt/G, G = (xl, . . х\ук (2.15)
Система п уравнений (2.6) после преобразования в координаты
(2.15) переходит в систему из п + 1 уравнений, рассматриваемую на
уровне связи
Ух + yt ~Ь • • • + Уп = 1. (2.16)
