Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
В целом фазовое пространство системы (2.6) в координатах (2.15) является
произведением (п - 1)-мерной единичной сферы S^1
(2.16) на полупрямую G ^ 0. Особой точке (0, . . ., 0) в коорди-
натах (2.15) отвечает инвариантное многообразие - (п - ^-мерная сфера
выделенная условиями (2.16) и G = 0. Переход
к сферическим координатам (2.15) полностью эквивалентен введению
локальных карт F? вида (2.11). В различных случаях один
28
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
(ГЛ. I
из этих двух способов разрешения вырожденных особых точек оказывается
наиболее удобным (требует меньших вычислений).
Разрешение вырожденных особых множеств осуществляется с помощью
преобразований, аналогичных (2.11) (или (2.15)), вдоль этих множеств.
Пусть множество вырожденных особых точек Мк размерности к локально
задается уравнениями х\ = . . .
... = хк = 0. Тогда для разрешения особого множества Мп следует применить
преобразования (2.11), где (к + 1) i, ] <; п. В результате этих
преобразований вместо каждой, точки множества Мк вклеивается (п - к - 1)-
мерная сфера 5n"fe"1.
§ 3. Метод максимально невырожденной компактифийации
динамической системы
Динамические системы, возникающие в физических задачах, определены, как
правило, в некоторой области Si фазового пространства, выделенной рядом
физических условий типа неравенств:
ф; (жь . . хп) >0, 7 = 1,..., к. (3.1)
К таким условиям могут относиться условия знакоопределенности энергии,
знакоопределенности некоторых координат и т. д. Для исследования
динамической системы полезно пополнить область Si границей, состоящей из
нескольких компонент Г;* (лежащих в конечной области координат), на
которых одно из условий (3.1) обращается в равенство:
Г,: Oj (*i, . . ., ж") = 0. (3.2)
Если траектории динамической системы не покидают область Si при любом
направлении времени, то все компоненты границы Г7* после надлежащей
замены времени являются инвариантными многообразиями динамической
системы.
Во многих случаях важно знать поведение траекторий динамической системы
(2.1) при больших значениях координат х\. Например, в гамильтоновых
системах рида (2.4) часто необходимо исследовать асимптотическое
поведение траекторий при больших энергиях, т. е. при Н 1. В других
задачах (например, в задаче о сильном взрыве в атмосфере) представляют
интерес только изолированные траектории системы, уходящие на
бесконечность при некотором направлении времени. Для исследования
поведения траекторий при больших значениях координат хг необходимо
пополнить фазовое пространство границей на бесконечности. Такое
пополнение осуществляется с помощью введения 2п карт ?/* проективных
координат
Xi 1 (Vi х1
g 3] МаКсиМаЛьйо невырожденная коМйаМйФй^аЦйя 29
В локальной карте Vt имеем sign z% = +1* В координатах (3.3) бесконечно
удаленным точкам соответствуют точки гиперплоскости L?* Zi = +0.
Траектории, уходившие на бесконечность с некоторой асимптотой ("1, . . .,
<Хп), при a,i Ф 0 входят в точку у(г) = aj/ai, ^ = +0, лежащую на
гиперплоскости Li1.
В результате преобразований координат вида (3.3) к фазовому пространству
в области бесконечно больших значений координат
xi приклеивается граница - (п - 1)-мерная сфера б171-1, покрытая
гиперплоскостями if.
Динамическая система (2.1) после преобразования в проективные координаты
(3.3) принимает вид
Sj = У*хй ~ х*'
! (3-4)
к -= - - ZiF{ ("/iXi, я*, г/"х*).
Предположим, что старшая степень многочленов F{ равна пг *). Вьгаесем из
правых частей системы (3.4) общий множитель х(tm)~г-В оставшиеся выражения
переменная х\ входит только в отрицательных степенях, т. е. в эти
выражения в положительных степенях входит переменная zi = xi1. Поэтому
после замены времени
^- = \*г\т-Х (3-5)
система (3.4) преобразуется в систему
if о = Pj (Уъ . . ч Zi9 . . ., уп) - yjPi (уъ . . ., Zi, . . ., уп),
(3.6)
ii (ffli • • ч • • ч Уп)" / == 1" • • ч j Ф h
где Pj = sign (xi1~l)*Fj/xT- Правые части полученной системы
(3.6) по-прежнему являются многочленами от своих переменных.
Гиперплоскость Li {zi = 0), очевидно, является инвариантным многообразием
динамической системы (3.6). Следовательно, граничная сфера 571-1,
приклеенная к фазовому пространству в области бесконечно больших значений
координат Xi, также является инвариантным многообразием динамической
системы на пополненном фазовом пространстве.
Система (3.6) на инвариантной гиперплоскости Li может иметь ряд
невырожденных особых точек. Сепаратрисы, входящие в
г) Проективное пополнение фазового пространства можно эффективно
применить также для исследования динамических систем, у которых правые
части Fi не являются многочленами, но обладают некоторыми свойствами
однородности.
30
Методы качественного исследования [гл. i
эти особые точки и не лежащие целиком на граничной сфере S71"1,
определяют траектории динамической системы (2.1), уходящие на
бесконечность с некоторой линейной асимптотой. Если система
(3.6) на приклеенной границе *Sn_1 (z* = 0) имеет вырожденные особые
