Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Составим определитель
SlL - • • g\n
gm .. • gnn
(4,1,8)
который в дальнейшем предполагается отличным от нуля.
Обозначим через Aia алгебраическое дополнение элемента gia этого определителя и составим сумму Atagkai оставляя значки /, k фиксированными. Из теории определителей известно, что при і = k эта сумма равна определителю, тогда как при і Ф k — нулю.
Итак,
Aiagka = ^gt (4,1,9)
где ol — так называемые символы Кронекера, заданные соотношением
1, і = k,
A=0 ,,ФН. <4'''10»
Напишем формулу (4,1,5) в виде djta = ga$dbfi и умножим ее на Aia. Суммируя по индексу а, получим
AiaAxa = Aiaga?dx* = ?O'?d/ = gdx1.
Следовательно,
dx' = giadxa; = (4,1 Л 1)
Коэффициенты g'/ позволяют выразить контравариантные компоненты вектора dr через ковариантные компоненты того же вектора.
Рассмотрим свойства этих коэффициентов подробнее. Прежде всего заметим, что они удовлетворяют условию симметрии gu = gilt поскольку из симметричности тензора gij непосредственно следует Ati = Aii. 86
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
Образовав произведение giagia и выполнив суммирование по индексу а, получим соотношение
giagia~ oj, (4,1,12)
неоднократно используемое в дальнейшем.
Найдем закон, по которому преобразуются коэффициенты gu при переходе к новой системе координат.
Согласно (4,1,11), в новой системе координат имеем dxr = ^= gWdXa'. Внесем сюда (4,1,3) и (4,1,4); получим
дх?' , а і'а' дхг і
-dx =g —zrdxb,
дха дха
или, если, согласно (4,1,11), в левой части равенства перейти к ко-вариантным компонентам вектора dr,
дх' Л&А» dx^ As,
дха дха
Поскольку величины dx? независимы, из соотношения
(дхГ a? /'а' Л
с необходимостью следует
дх1' a? _ Га' дх? дх* g g дх«' '
дхг
Умножим это равенство на производную —й и суммируем по
дхр
индексу ?:
дхУ дхг a? __ дх* дх1" /-«' дха дх* 8 ~ дха* дх* *
Принимая во внимание очевидное соотношение -?- ==
дха дх**
а также равенство tikg*'*' = St^'* окончательно получим
/'/' дхУ дх'" a? і а \ 1 Q4
* =Isl^g • (4',ЛЗ)
Найденный закон преобразования состоит в двукратном применении преобразования (4,1,3), присущего контравариантному вектору. Это показывает, что совокупность коэффициентов g*' образует контравариантный тензор второго порядка. 2. Тензоры и их свойства
87
В заключение преобразуем символы Кронекера (4,1. Ю). Согласно (4,1,12), в новой системе координат имеет место равенство
efWW
Внесем сюда преобразования (4,1,7) и (4,1,13).
С Г дх'' дха дх" дх6 a? дх'' дхV a?
6/' "SFSF-TrSFrg gv6^SFir8 g^
Принимая во внимание (4,1,12), окончательно получим
В данном случае одновременно используются законы преобразования как ковариантного, так и контравариантного векторов. Символы Кронекера образуют смешанный тензор второго порядка — ковариантный относительно нижнего индекса и контравариантный относительно верхнего.
Рассмотренный тензор второго порядка, заданный ковариантны-ми gif или контравариантными gif компонентами, называется метрическим тензором. Он играет фундаментальную роль в теории римановых пространств, являясь основной характеристикой их геометрических свойств.
2. Тензоры и их свойства. Выше были рассмотрены примеры тензоров, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по определенным законам, полученным путем соответствующего обобщения формулы преобразования координатных векторов. Расширяя введенные понятия, дадим более общее определение тензора.
Совокупность величин TiIim представляет собой тензор пятого порядка — ковариантный относительно нижних индексов и кон-травариантный относительно верхних, если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам вида
/W 7' дхг дх1" дх* дх6 дх* rpd? (AC)W
lk'l'm* - Is IZr IFr1 (4'д 1'
Это определение выполняется для тензора любого порядка и произвольного строения. В частности, тензор первого порядка является вектором, а тензор нулевого порядка — скаляром, или инвариантом, сохраняющим одно и то же значение во всех системах координат.
Заметим, что в какой-нибудь одной системе координат все компоненты тензора можно задать совершенно произвольно; в других системах координат компоненты определятся вполне однозначно 88
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
принятым законом преобразования. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что при непосредственном переходе от одной системы координат к другой компоненты данного тензора оказываются такими же, как при любом числе промежуточных систем.
В качестве примера рассмотрим переход от координат Xі к системе Xі', а затем к Xі'. В результате первого преобразования для компонент некоторого тензора третьего порядка получим
Ti' — д** ' d*? дху гра ll'k'~ Ac« Ac'' дх»-
Второе преобразование дает
грі" дхі' дх*' дх*' -а'
_ дх*' dx?' дхV дха' дх? дх" уа дха' дх'" дхк" дха дх»' дх?V'
Со гласно теореме о дифференцировании сложных функций,
дх1" дха' дхГ
дха' дха дха
